Gruppen, Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | a) Betrachte in der multiplikativen Gruppe [mm] \mathbb{C}^\* [/mm] der von Null verschiedenen komplexen Zahlen die Gruppe [mm] \mu_n [/mm] der n-ten Einheitswurzeln. Zeige, dass [mm] \mathbb{C}^\*/\mu_n\cong \mathbb{C}^\*.
[/mm]
b) Beschreiben Sie die Gruppe [mm] Hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*). [/mm] |
Halli hallo,
ich komme bei der Aufgabe gerade nicht weiter.
Bei a) habe ich leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich das zeigen kann, kann mir da bitten einer helfen?
Bei b) bin ich mir leider auch nicht sicher, was hier mit 'beschreiben' gemeint ist, aber was ich und ein Kommilitone uns dazu dachten:
Sei [mm] \phi \in Hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*).\ \overline{1} [/mm] ist erzeugendes Element der Gruppe [mm] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, [/mm] also muss [mm] \phi(1) [/mm] erzeugendes Element der Untergruppe [mm] \mathbb{C}^\* [/mm] sein, auf die [mm] \phi [/mm] abbildet. Diese Untergruppe sind die n-ten Einheitswurzeln von [mm] \mathbb{C}.
[/mm]
Macht das soweit Sinn? Was ist falsch bzw. was muss/kann man ergänzen?
Hilfe wäre nett.
Danke,
Grüße Belleci
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Belleci!
> a) Betrachte in der multiplikativen Gruppe [mm]\mathbb{C}^\*[/mm]
> der von Null verschiedenen komplexen Zahlen die Gruppe
> [mm]\mu_n[/mm] der n-ten Einheitswurzeln. Zeige, dass
> [mm]\mathbb{C}^\*/\mu_n\cong \mathbb{C}^\*.[/mm]
>
> b) Beschreiben Sie die Gruppe
> [mm]Hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*).[/mm]
> Bei a) habe ich leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie
> ich das zeigen kann, kann mir da bitten einer helfen?
Zeige, dass
[mm] $\varphi\colon\IC^\*\to\IC^\*,\quad \varphi(z)=z^n$
[/mm]
ein Homomorphismus ist und wende den Homomorphiesatz an, um zu einem Homomorphismus
[mm] $\overline{\varphi}\colon\IC^\*/\mu_n\to\IC^\*$
[/mm]
zu gelangen.
Zeige, dass er ein Isomorphismus ist.
> Bei b) bin ich mir leider auch nicht sicher, was hier mit
> 'beschreiben' gemeint ist,
Das ist natürlich eine etwas unpräzise/offene Aufgabenstellung.
Hier ist es möglich, einen kanonischen Isomorphismus zwischen der zu beschreibenden Gruppe und einer bekannteren Gruppe anzugeben.
> aber was ich und ein Kommilitone
> uns dazu dachten:
> Sei [mm]\phi \in Hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*).\ \overline{1}[/mm]
> ist erzeugendes Element der Gruppe [mm]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},[/mm]
> also muss [mm]\phi(1)[/mm] erzeugendes Element der Untergruppe
> [mm]\mathbb{C}^\*[/mm] sein, auf die [mm]\phi[/mm] abbildet.
Ja.
> Diese
> Untergruppe sind die n-ten Einheitswurzeln von [mm]\mathbb{C}.[/mm]
Die von [mm] $\phi(1)$ [/mm] erzeugte Untergruppe von [mm] $\IC^\*$ [/mm] ist tatsächlich eine Untergruppe der Gruppe [mm] $\mu_n$.
[/mm]
(Warum?)
Sie stimmt aber nicht notwendig mit ganz [mm] $\mu_n$ [/mm] überein.
> Macht das soweit Sinn?
Ja, der Ansatz, [mm] $\phi(1)$ [/mm] zu untersuchen ist gut.
> Was ist falsch bzw. was muss/kann
> man ergänzen?
Zu ergänzen ist eine nähere Beschreibung von [mm] $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*)$.
[/mm]
Ihr habt anscheinend schon überlegt, dass [mm] $\phi(1)$ [/mm] für jeden Homomorphismus [mm] $\phi\in\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*)$ [/mm] notwendig eine $n$-te Einheitswurzel ist.
Sei nun [mm] $\xi$ [/mm] eine $n$-te Einheitswurzel. Gibt es dann stets eine oder gar mehrere [mm] $\phi\in\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};\mathbb{C}^\*)$ [/mm] mit [mm] $\phi(1)=\xi$?
[/mm]
Tipp: Homomorphiesatz
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
