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| Aufgabe | | Sei (G,*) eine abelsche Gruppe und (M,°) ein Rechenbereich. Zeigen Sie: Fals ein isomorphismus existiert so ist auch (M,°) eine abesche Gruppe. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
so dass ist die Aufgabe, und ich weiß auch was ich beweisen müsste:
(M,°) ist assoziativ und kommutativ, besitz zu jedem Element ein inverses und besitz ein neutraes Element(hab ich schon).
Habe ansonsten aber keine wirklichen Ansatz da *,° beliebige Verknüpfungen sind.
Vielleicht weiß ja jemand mehr als ich.
Vielen Dank schonb ma im Vorraus.
Gruß,
zwergline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo zwergline!
> Sei (G,*) eine abelsche Gruppe und (M,°) ein Rechenbereich.
> Zeigen Sie: Fals ein isomorphismus existiert so ist auch
> (M,°) eine abesche Gruppe.
Ich nehme mal an, es ist gemeint, dass es eine bijektive Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] M$ gibt mit [mm] $\varphi(a [/mm] * b) = [mm] \varphi(a) \circ \varphi(b)$ [/mm] fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] G$?
> so dass ist die Aufgabe, und ich weiß auch was ich
> beweisen müsste:
> (M,°) ist assoziativ und kommutativ, besitz zu jedem
> Element ein inverses und besitz ein neutraes Element(hab
> ich schon).
> Habe ansonsten aber keine wirklichen Ansatz da *,°
> beliebige Verknüpfungen sind.
Ich rechne dir mal die Eigenschaft abelsch vor: Sind $a, b [mm] \in [/mm] M$, so ist [mm] $\varphi^{-1}(a), \varphi^{-1}(b) \in [/mm] G$ und somit [mm] $\varphi^{-1}(a) [/mm] * [mm] \varphi^{-1}(b) [/mm] = [mm] \varphi^{-1}(b) [/mm] * [mm] \varphi^{-1}(a)$. [/mm] Also ist $a [mm] \circ [/mm] b = [mm] \varphi(\varphi^{-1}(a)) \circ \varphi(\varphi^{-1}(b)) [/mm] = [mm] \varphi(\varphi^{-1}(a) [/mm] * [mm] \varphi^{-1}(b)) [/mm] = [mm] \varphi(\varphi^{-1}(b) [/mm] * [mm] \varphi^{-1}(a)) [/mm] = [mm] \varphi(\varphi^{-1}(b)) \circ \varphi(\varphi^{-1}(a)) [/mm] = b [mm] \circ [/mm] a$.
Noch ein Tipp: Das neutrale Element aus $M$ ist gegeben durch [mm] $\varphi(e)$, [/mm] wobei $e$ das neutrale Element aus $G$ ist. Wie du zu dem inversen Element von $a [mm] \in [/mm] M$ kommst musst du nun selber herausfinden 
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:18 So 14.05.2006 | | Autor: | zwergline |
| Aufgabe | | Es sei (G,*) eine abesche Gruppe und (M,°) ein Rechenbereich. Zeigen sie fas ein Isomorphismus f:G->M existiertso ist auch (M,°) eine abesche Gruppe. |
Hallo,
also so wie ich diese Lösung jetzt verstehe hast du "°" als Verkettung betrachtet, das wäre ja wieder eine spezielle Verkettung. So ähnch hatte ich das auch zuerst nur habe dann festgesteltt dass das ja nicht mehr allgemein ist.
Oder hab ich das falsh verstanden?
Gruß,
zwergline
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo zwergline!
> Es sei (G,*) eine abesche Gruppe und (M,°) ein
> Rechenbereich. Zeigen sie fas ein Isomorphismus f:G->M
> existiertso ist auch (M,°) eine abesche Gruppe.
Schreib doch mal eure Definition von ``$(M, [mm] \circ)$ [/mm] Rechenbereich'' auf. Und die Definition von Isomorphismus.
> Hallo,
> also so wie ich diese Lösung jetzt verstehe hast du "°"
> als Verkettung betrachtet, das wäre ja wieder eine
> spezielle Verkettung. So ähnch hatte ich das auch zuerst
> nur habe dann festgesteltt dass das ja nicht mehr allgemein
> ist.
Das haengt ganz davon ab was du unter Rechenbereich verstehst. Fuer mich ist ein Rechenbereich $(M, [mm] \circ)$ [/mm] eine Menge $M$ mit einer Verknuepfung [mm] $\circ$ [/mm] auf dieser -- die Verknuepfung ist also explizit gegeben. Man weiss vielleicht nix darueber, aber man weiss das man mit [mm] $\circ$ [/mm] zwei Elemente aus $M$ verknuepfen kann und ein weiteres aus $M$ erhaelt...
LG Felix
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