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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 25.10.2007 | | Autor: | rezzana |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Mengen der Matrices
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] [mm]\in[/mm] M([mm]\IR[/mm])[mm]|[/mm]ad-bc[mm]\not=[/mm]0
und
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] [mm]\in[/mm] M([mm]\IZ[/mm])[mm]|[/mm]ad-bc=1
sind eine Gruppe.
hallo!
ich versuche jetzt schon seit dienstag diese aufgabe zu lösen und weiß einfach nicht weiter. ich denke man muss die gruppenaxiome beweisen- aber wie macht man das bei dieser aufgabe? ich wäre wirklich froh,wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
vielen dank,
rezzana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 25.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie: Die Mengen der Matrices
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] [mm]\in[/mm] M([mm]\IR[/mm])[mm]|[/mm]ad-bc[mm]\not=[/mm]0
>
> und
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] [mm]\in[/mm] M([mm]\IZ[/mm])[mm]|[/mm]ad-bc=1
> sind eine Gruppe.
>
> hallo!
> ich versuche jetzt schon seit dienstag diese aufgabe zu
> lösen und weiß einfach nicht weiter. ich denke man muss die
> gruppenaxiome beweisen- aber wie macht man das bei dieser
> aufgabe?
habt ihr schon gezeigt, dass die menge der $2 [mm] \tines [/mm] 2$-matrizen mit $ad-bc [mm] \not= [/mm] 0$ bezüglich der matrixmultiplikation eine gruppe sind? dann genügt es hier einfach das untergruppen kriterium nachzurechnen.
ansonsten musst du eben die gruppen-axiome nachrechnen: also assoziativität der matrixmultiplikation (einfach mal drei matrizen auf zwei verschiedene weisen geklammer zusammenmultiplizieren und schauen, was rauskommt).
etwas weniger aufwendig: wie sieht das neutrale element aus? liegt das in diesen mengen? wie sehen die inversen aus?
zeig doch mal, wie weit du damit kommst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 25.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
vielen dank für die schnelle antwort!
> habt ihr schon gezeigt, dass die menge der [mm]2 \tines 2[/mm]-matrizen
> mit [mm]ad-bc \not= 0[/mm] bezüglich der matrixmultiplikation eine
> gruppe sind? dann genügt es hier einfach das untergruppen
> kriterium nachzurechnen.
ich glaube nicht,dass wir das schon gezeigt haben.allerdings ist das in den vorlesungen alles immer ein bisschen viel und ich versteh dann auch nicht alles...
> ansonsten musst du eben die gruppen-axiome nachrechnen:
> also assoziativität der matrixmultiplikation (einfach mal
> drei matrizen auf zwei verschiedene weisen geklammer
> zusammenmultiplizieren und schauen, was rauskommt).
> etwas weniger aufwendig: wie sieht das neutrale element
> aus? liegt das in diesen mengen? wie sehen die inversen
> aus?
irgendwie versteh ich nicht so ganz wie ich so etwas nachrechnen soll. ich sitze hier vor den ganzen definitionen,aber hab keinen wirklichen plan und ein für mich verständliches beispiel ist auch in keinem von diesen mathe-büchern zu finden. :-(
gruß rezzana
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> hallo!
> vielen dank für die schnelle antwort!
>
> > habt ihr schon gezeigt, dass die menge der [mm]2 \tines 2[/mm]-matrizen
> > mit [mm]ad-bc \not= 0[/mm] bezüglich der matrixmultiplikation eine
> > gruppe sind? dann genügt es hier einfach das untergruppen
> > kriterium nachzurechnen.
> ich glaube nicht,dass wir das schon gezeigt
> haben.allerdings ist das in den vorlesungen alles immer ein
> bisschen viel und ich versteh dann auch nicht alles...
Hallo,
eine gewisse (wenn nicht gar irrwitzige) Geschwindigkeit haben Vorlesungen an sich,
Es ist normal, daß man nicht alles sofort versteht, man muß es halt nachbereiten, spätestens wenn das Thema in der HÜ dran ist, lohnt sich ein Blick.
Ich denke, wir können guten Gewissens davon ausgehen, daß Du bereits weißt, daß die 2x2-Matrizen mit der einschlägigen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden - aber überzeuge Dich davon, daß dem so ist.
Du brauchst hier also nur die Untergruppeneigenschaften nachweisen, und ich bin mir sicher, daß dazu etwas dran war.
Was habt Ihr denn dazu aufgeschrieben/gehört, wie man die Untergruppeneigenschaften prüfen kann.
Wenn Du Dir im Forum helfen lassen möchtest, ist es sicher sinnvoll, wenn Du DEIN Kriterium hier angibst, man kann das nämlich auf (geringfügig) verschiedene Weisen testen.
> irgendwie versteh ich nicht so ganz wie ich so etwas
> nachrechnen soll. ich sitze hier vor den ganzen
> definitionen,aber hab keinen wirklichen plan und ein für
> mich verständliches beispiel ist auch in keinem von diesen
> mathe-büchern zu finden. :-(
Wichtig ist es, zunächst die Definition in der Hand zu haben, der kann man dann ja Leben einhauchen. Ohne Def. ist jedes Beispiel sinnlos.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Fr 26.10.2007 | | Autor: | glebi |
also es ist also nachzuweisen dass die mengen eine untergruppe haben. dies
ist demso wenn diese bedingungen erfüllt sind:
sei U eine teilmenge der gruppe G
[mm] -U\not=0
[/mm]
-Ist g [mm] \in [/mm] U, so ist auch 1/g [mm] \in [/mm] U
-sind g,h [mm] \in [/mm] U, so ist auch gh [mm] \in [/mm] U
aber das muss man doch jetzt nachweisen oder? puhh.wie geht das?
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> also es ist also nachzuweisen dass die mengen eine
> untergruppe haben. dies
> ist demso wenn diese bedingungen erfüllt sind:
> sei U eine teilmenge der gruppe G
>
> [mm]-U\not=0[/mm]
> -Ist g [mm]\in[/mm] U, so ist auch 1/g [mm]\in[/mm] U
> -sind g,h [mm]\in[/mm] U, so ist auch gh [mm]\in[/mm] U
>
> aber das muss man doch jetzt nachweisen oder? puhh.wie geht
> das?
Hallo,
nach Nachdenken bin ich zu dem Entschluß gekommen, daß Du für [mm] \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IR ) | ad-bc \not= 0 \}
[/mm]
wirklich das komplette Programm durchziehen, d.h. sämtliche Gruppenaxiome zeigen.
Dazu darfst Du Dich natürlich auf die Eigenschaften, die Ihr übers Rechnen mit Matrizen gelernt habt, berufen.
Die zweite Menge ist offensichtlich eine Teilmenge der ersten.
Hier brauchst Du dann nur die Untergruppenkriterien nachzuweisen.
nehmen wir uns mal Deine zu untersuchende Menge her:
>>>M:= [mm] \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IZ ) | ad-bc=1 \}
[/mm]
Das ist jetzt Dein U, also U:=M ,und wir wollen wissen, ob es eine Untergruppe der Gruppe der 2x2-Matrizen ist.
Welche Elemente sind in U? Invertierbare 2x2-Matrizen mit einer besonderen Eigenschaft:
ihre Determinante =1.
Nun mußt Du die Punkte abarbeiten.
> [mm]U\not=0[/mm]
Vorsicht: [mm] U\not=\emptyset [/mm] muß es richtig heißen.
Hier mußt Du lediglich ein konkretes Element vorweisen, welches drin liegt.
(Es ist nicht so dumm, an dieser Stelle gleich nachzuschauen, ob das neutrale Element der Obermenge in U liegt.
Wenn nicht, kann man nämlich gleich aufhören.)
> Ist g [mm]\in[/mm] U, so ist auch 1/g [mm]\in[/mm] U
Übersetzt: zu jedem Element, welches in U liegt, ist auch das Inverse in U.
Du mußt also herausfinden, ob zu jeder Matrix in Deiner Menge auch die Inverse Matrix drin liegt.
Wann liegt sie drin? Wenn auch ihre Determinante=1 ist.
> sind g,h [mm]\in[/mm] U, so ist auch gh [mm]\in[/mm] U
Du mußt zeigen, daß die Verknüpfung zweier beliebiger Elemente aus Deiner Menge auch wieder drin liegt.
Hierzu mußt Du die Determinante des Produktes anschauen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rezzana |
> Hallo,
>
> nach Nachdenken bin ich zu dem Entschluß gekommen, daß Du
> für [mm]\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IR ) | ad-bc \not= 0 \}[/mm]
>
> wirklich das komplette Programm durchziehen, d.h. sämtliche
> Gruppenaxiome zeigen.
hallo!
ich habe schon am anfang der aufgabe probleme. ich muss die gruppenaxiome nachweisen- aber wie fange ich das an? ich weiß einfach nicht,wie ich das assoziativgesetz nachweisen soll.
es lautet ja: a*(b*c)=(a*b)*c für a,b,c [mm]\in[/mm] G (G ist die Gruppe)
was wäre dann mein a,b und c? irgendwie versteh ich das mit der matrix nicht.
grüße rezzana
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> > Hallo,
> >
> > nach Nachdenken bin ich zu dem Entschluß gekommen, daß Du
> > für [mm]\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IR ) | ad-bc \not= 0 \}[/mm]
>
> >
> > wirklich das komplette Programm durchziehen, d.h. sämtliche
> > Gruppenaxiome zeigen.
> hallo!
> ich habe schon am anfang der aufgabe probleme. ich muss
> die gruppenaxiome nachweisen- aber wie fange ich das an?
> ich weiß einfach nicht,wie ich das assoziativgesetz
> nachweisen soll.
> es lautet ja: a*(b*c)=(a*b)*c für a,b,c [mm]\in[/mm] G (G ist die
> Gruppe)
> was wäre dann mein a,b und c? irgendwie versteh ich das
> mit der matrix nicht.
> grüße rezzana
Hallo,
Deine Menge, über die Du nachdenken mußt. ist die Menge [mm] A:=\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IR ) | ad-bc \not= 0 \}. [/mm] die Verknüpfung, um die es geht, ist die normale Matrizenmultiplikation.
Die Elemente Deiner Menge sind Matrizen.
Wenn Du also liest, daß man für a,b,c [mm] \in [/mm] G irgendetwas zeigen soll, bedeutet das nichts anderes als "zeige für drei beliebige Elemente von G".
Die Menge, die Du anschaust, enthält Matrizen einer bestimmten Machart. Wenn Du nun den Auftrag "zeige für drei beliebige Elemente von G" aud Dein konkeretes Beispiel überträgst, bedeutet das, daß Du drei beliebige Matrizen aus A nehmen mußt, z.B.
[mm] \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_3 & b_3 \\ c_3 & d_3 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich hoffe, daß Dir das jetzt etwas klarer wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Sa 27.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
vielen dank für die antwort- sie hat mir sehr geholfen,denn ich weiß nun wenigstens was ich machen soll. allerdings verrechne ich mich bei dem nachweis der assoziativität wohl immer,denn es kommt nie das richtige raus. woran kann das liegen? ich habe es jetzt schon einige male durchgerechnet,aber a*(b*c) ergibt bei mir nie (a*b)*c.
gruß rezzana
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> hallo!
> vielen dank für die antwort- sie hat mir sehr
> geholfen,denn ich weiß nun wenigstens was ich machen soll.
> allerdings verrechne ich mich bei dem nachweis der
> assoziativität wohl immer,denn es kommt nie das richtige
> raus. woran kann das liegen?
Es kann nur an einem Rechenfehler liegen oder daran, daß Du die Gleichheit nicht erkennst.
Vielleicht ist es hilfreich, bei den drei Matrizen jeweils unterschiedliche Buchstabentypen zu verwenden statt Indizes, z.b. für in der einen kl. lateineische, in der zweiten gr. lateinische und in der dritten griechische. Oder (a,b,c,d), (k,l,m,n), (x,y,z,t). Vielleicht kommst Da dann nicht so leicht ducheinander.
Kannst ansonsten ja mal vorrechnen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 27.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
den rechenfehler habe ich inzwischen gefunden und auch die anderen gruppenaxiome nachgewiesen(hoffentlich richtig). doch wie ist das jetzt mit der untergruppe?
> Ist g U, so ist auch 1/g U
> sind g,h U, so ist auch gh U
wie zeige ich das?was nehme ich hierbei als g und h?
gruß rezzana
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> hallo!
> den rechenfehler habe ich inzwischen gefunden und auch die
> anderen gruppenaxiome nachgewiesen(hoffentlich richtig).
Hast Du auch daran gedacht, nachzuschauen, ob jedesmal die Determinante, also [mm] ad-bc\not=0 [/mm] ist?
> doch wie ist das jetzt mit der untergruppe?
Das ist der nächste Aufgabenteil, in welchem die Matrizen mit det=1 zu betrachten sind.
Diese Menge [mm] S:=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IZ ) | ad-bc=1 \} [/mm] ist ja offensichtlich eine Teilmenge der zuvor betrachteten.
Daher brauchen wir nur zu zeigen, daß es eine Untergruppe von dieser ist.
>
> > Ist g U, so ist auch 1/g U
> > sind g,h U, so ist auch gh U
Ich übersetze es wieder: nimmt man ein irgendein Element aus S, so liegt sein Inverses auch in S.
Nimmt man zwei Elemente aus S, so liegt Ihr Produkt auch in S.
Die Elemente sind hier wieder matrizen, nämlcih solche, deren Determinante =1 ist. Aus diesen besteht die Menge S.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 27.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
> > > Ist g U, so ist auch 1/g U
> > > sind g,h U, so ist auch gh U
was damit gemeint ist,habe ich inzwischen verstanden. allerdings weiß ich nicht,wie ich genau die elemente betrachte,deren determinante 1 ist.![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") was für zwei matrizen kann man denn da nehmen,sodass die determinante jeder einzelnen 1 ergibt?
gruß rezzana
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> hallo!
> > > > Ist g U, so ist auch 1/g U
> > > > sind g,h U, so ist auch gh U
> was damit gemeint ist,habe ich inzwischen verstanden.
> allerdings weiß ich nicht,wie ich genau die elemente
> betrachte,deren determinante 1 ist. was für
> zwei matrizen kann man denn da nehmen,sodass die
> determinante jeder einzelnen 1 ergibt?
In dem Moment, in welchem Du sagst, daß [mm] \pmat{ x & y \\ z & t }\in [/mm] $ [mm] S:=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M( \IZ ) | ad-bc=1 \} [/mm] $ ist, IST die Determinate xt-yz von [mm] \pmat{ x & y \\ z & t } [/mm] gleich 1. Sonst wäre [mm] \pmat{ x & y \\ z & t } [/mm] nicht in der Menge.
Und nun mußt Du wissen, welches das inverse Element zu [mm] \pmat{ x & y \\ z & t } [/mm] ist, und dann zeigen, daß dessen Determinante auch =1 ist. (Wenn Ihr schon ein bißchen etwas zu Determinanten gemacht habt, kannst Du sogar einfach ausgehend v. det(A*B)=detE argumentieren.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 27.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
vielen dank! jetzt hab ich das richtig verstanden- da stand ich ja ganz schön auf dem schlauch.
gruß rezzana
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Habe ich das richtig verstanden? Ich muss zunächst nachweisen, dass die erste Matrix eine Gruppe ist mithilfe der Gruppenaxiome und danach zeigen, dass die zweite Matrix eine Untergruppe der ersten ist?
Mit dem nachweisen der Gruppenaxiome der ersten Matrix habe ich schon begonnen und für die Assoziativität hat das auch noch gut geklappt. Der Tipp mit dem Einsetzen von verschiedenen Buchstaben war wirklich hilfreich! Probleme habe ich allerdings beim Nachweisen von neutralem und inversem Element. Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, wie ich da ran gehen soll. Rein intuitiv hätte ich für den Nachweis vom inversen Element die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm]
mit dieser multipliziert:
[mm] \begin{pmatrix}
-a& -b \\
-c & -d
\end{pmatrix} [/mm]
Damit komme ich aber auch nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? Das wäre toll!
Viele Grüße
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> Hallo!
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> Habe ich das richtig verstanden? Ich muss zunächst
> nachweisen, dass die erste Matrix eine Gruppe ist mithilfe
> der Gruppenaxiome und danach zeigen, dass die zweite Matrix
> eine Untergruppe der ersten ist?
Hallo,
nicht ganz.
Du weist nicht nach, daß die Matrix eine Gruppe ist (was sollte das bedeuten???),
sondern daß diese mengen, die aus Matrizen mit bestimmten Eigenschaften bestehen, eine Gruppe bilden.
Zuerst zeigst Du, daß die erste Menge eine Gruppe ist (mit der Matrizenmultiplikation), danach zeigst Du, daß die zweite Menge eine Untergruppe der ersten ist. Das hat den Vorteil, daß Du nicht alle Gruppeneigenschaften erneut nachweisen mußt.
> Mit dem nachweisen der Gruppenaxiome der ersten Matrix habe
> ich schon begonnen und für die Assoziativität hat das auch
> noch gut geklappt. Der Tipp mit dem Einsetzen von
> verschiedenen Buchstaben war wirklich hilfreich! Probleme
> habe ich allerdings beim Nachweisen von neutralem und
> inversem Element. Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, wie
> ich da ran gehen soll. Rein intuitiv hätte ich für den
> Nachweis vom inversen Element die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm]
> mit dieser multipliziert:
> [mm]\begin{pmatrix}
-a& -b \\
-c & -d
\end{pmatrix}[/mm]
> Damit komme ich aber auch nicht weiter. Kann mir vielleicht
> jemand weiterhelfen? Das wäre toll!
Tja, da gibt es zwei Möglichkeiten, je nachdem, was Ihr bisher gelernt habt.
Wenn Ihr bereits wißt, daß Matrizen, deren Det. [mm] \not=0 [/mm] ist, invertierbar sind, bist Du bereits fertig.
Ansonsten mußt Du die inverse Matrix ausrechnen, indem Du aus [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x& y \\
z & r
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] löst, d.h. nach x,y,z,t auflöst.
> Rein intuitiv hätte ich für den
> Nachweis vom inversen Element die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm]
> mit dieser multipliziert:
> [mm]\begin{pmatrix}
-a& -b \\
-c & -d
\end{pmatrix}[/mm]
Es ist gut, daß Du das ansprichst. Wenn man von Inversen redet, muß einem immer klar sein bzgl. welcher Verknüpfung.
Hier geht es um die Matrizenmultiplikation, bestimmt steht da auch irgendwo auf dem Aufgabenblatt.
Du multiplizierst mit dem Inversen bzgl. +, daher ist nicht zu erwarten, daß die Einheitsmatrix herauskommt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 28.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Meinen Fehler mit dem inversen Element habe ich mittlerweile verstanden (hoffe ich). Ich muss also die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm]
mit folgender multiplizieren:
[mm] \begin{pmatrix}
1/a & 1/b \\
1/c & 1/d
\end{pmatrix} [/mm]
Ich hoffe, soweit liege ich richtig. Wenn ich das ganze ausmultipliziere, gelange ich bis zu:
[mm] \begin{pmatrix}
1 + b/c & a/b + b/d \\
c/a + d/c & c/b + 1
\end{pmatrix} [/mm]
und komme wieder ins Stocken. Wie komme ich an dieser Stelle auf das neutrale Element 1? Und eine ganz allgemeine Frage: Wie sieht das neutrale Element dargestellt als Matrix aus? Oder denke ich jetzt gerade völlig in die falsche Richtung?
Ein ähnliches Problem habe ich bei dem Nachweis des neutralen Elements. Ich habe deinen Rat berücksichtigt und
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm]
mit
[mm] \begin{pmatrix}
x & y \\
z & r
\end{pmatrix} [/mm]
multipliziert.
Ich komme auf
[mm] \begin{pmatrix}
ax + bz & ay + br \\
cx + dz & cy + dr
\end{pmatrix} [/mm]
Wie soll ich das ganze nach x, y, z und r auflösen? Bitte dringend um Hilfe!
Viele Grüße
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> Hallo!
>
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Meinen Fehler mit dem inversen Element habe ich
> mittlerweile verstanden (hoffe ich). Ich muss also die
> Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm]
> mit folgender multiplizieren:
> [mm]\begin{pmatrix}
1/a & 1/b \\
1/c & 1/d
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
Du unterliegst dem Irrtum, daß [mm] \begin{pmatrix}
1/a & 1/b \\
1/c & 1/d
\end{pmatrix}
[/mm]
die inverse Matrix zu [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm] ist.
Daß das nicht der Fall ist, hast Du ja eigentlich schon selbst bemerkt.
Die inverse Matrix zu [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm] ist die Matrix [mm] \begin{pmatrix}
x & y \\
z & t
\end{pmatrix}, [/mm] für welche
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x & y \\
z & t
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+bz & ay+bt \\
cx+dz & cy+dt
\end{pmatrix}
[/mm]
gilt.
Aus [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+bz & ay+bt \\
cx+dz & cy+dt
\end{pmatrix} [/mm] erhältst Du 4 Gleichungen, die Du lösen kannst.
Heraus kommt: die inverse Matrix ist [mm] \bruch{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
[/mm]
> und komme wieder ins Stocken. Wie komme ich an dieser
> Stelle auf das neutrale Element 1?
1 bedeutet hier nicht die Zahl 1, sondern das neutrale Element in dieser gerade betrachteten Gruppe.
Das ist die Einheitsmatrix [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}, [/mm] denn die läßt jede Matrix [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm] bei Multiplikation unverändert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
wie kommt man denn darauf, dass das neutrale element die enheitsmatrix ist? durch ausprobieren?
[mm] \pmat{a&b\\c&d} [/mm] * e = [mm] \pmat{a&b\\c&d}
[/mm]
wie forme ich sowas nach e um?!? Gibt es sowas wie eine Matrizendivision?
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> wie kommt man denn darauf, dass das neutrale element die
> enheitsmatrix ist? durch ausprobieren?
> [mm]\pmat{a&b\\c&d}[/mm] * e = [mm]\pmat{a&b\\c&d}[/mm]
>
> wie forme ich sowas nach e um?!? Gibt es sowas wie eine
> Matrizendivision?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
A. Wenn man je im Leben mit Matrizen gearbeitet hat, weiß man das...
Die Antwort ist natürlich unbefriedigend.
B. Wenn man sich davon überzeugt hat, daß für sämtliche a,b,c,d
[mm] \pmat{a&b\\c&d}*\pmat{1&0\\0&1}=\pmat{1&0\\0&1}* \pmat{a&b\\c&d}= \pmat{a&b\\c&d} [/mm] gilt, weiß man, daß
[mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] das neutale Element bzgl. der Multiplikation v. Matrizen ist.
C. Falls man es partout ausrechnen möchte - was hier nicht erforderlich ist, es reicht, das neutrale Element zu präsentieren und zu zeigen, daß es wirklich eins ist -
kann man diese Gleichung lösen:
Seien a,b,c,d [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] \pmat{a&b\\c&d}= \pmat{a&b\\c&d}*\pmat{x&y\\z&t}= \pmat{ax+bz&ay+bt\\cx+dz&cy+dt}
[/mm]
<==>
a=ax+bz
b=ay+bt
[mm] \vdots
[/mm]
Ein lineares GLeichungssystem in den Variablen x,y,z,t.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
>
> Aus [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+bz & ay+bt \\
cx+dz & cy+dt
\end{pmatrix}[/mm]
> erhältst Du 4 Gleichungen, die Du lösen kannst.
>
> Heraus kommt: die inverse Matrix ist
> [mm]\bruch{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
Wie bekommt man denn vier Gleichungen... Ich dachte man bekommt zwei gleichungen heraus:
1+0=ax+bz
1+1=cx+dz
ich sehe schon, dass es irgenwie blödsinn is, aber ich kenn mich mit matrizen noch nicht so gut aus und jeder rechenschritt ist für mich gerade immer wieder eine neue herausforderung
Wie sehe den eine (oder auch alle :)) gleichungen den aus? und nach was formt man denn um? In der Lösung sind ja plötzlich vier Variablen weg....
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> >
> > Aus [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+bz & ay+bt \\
cx+dz & cy+dt
\end{pmatrix}[/mm]
> > erhältst Du 4 Gleichungen, die Du lösen kannst.
> >
> > Heraus kommt: die inverse Matrix ist
> > [mm]\bruch{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}[/mm]
> >
> >
> Wie bekommt man denn vier Gleichungen...
Hallo,
wir haben oben zwei 2x2-Matrizen, welche gleich sein sollen.
Wann sind sie gleich?
Wenn sie in allen 4 Einträgen übereinstimmen.
Also müssen gelten:
1=ax+bz
0=ay+bt
0=cx+dz
1=cy+dt
Das ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x,y,z,t.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
oh super danke!!! hab jetzt nur das problem, wie ich diese gleichungen dann zum ergebnis umforme
so hab ich es versucht:
ich hab die erste gleichung nach x, die 2. nach y,... aufgelöst x
=-by/a , y=-bt/a , ...
und dann die brüche in eine matrix reingepackt
[mm] \pmat{ -by/a & -bt/a \\ -cx/d & -cy/d } [/mm]
aber es sind ja noch x, y, z, t drinne... hab versucht irgendwas auszuklammern, damit keine brüche mehr in der matrix sind... aber es kann ja nicht funktioniern
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> oh super danke!!! hab jetzt nur das problem, wie ich diese
> gleichungen dann zum ergebnis umforme
>
> so hab ich es versucht:
> ich hab die erste gleichung nach x, die 2. nach y,...
> aufgelöst x
> =-by/a , y=-bt/a , ...
Oh nein, das reicht längst nicht!
Du mußt es so auflösen, daß Du erhältst x=... und bei ... dürfen nur noch a,b,c,d vorkommen, für y, z,t entsprechend.
Wenn Du
5x+3y=24
x+2y=10 löst, machst Du das doch auch so.
Aber Du hast verstanden, daß Du für die Aufgabe das fertige Ergebnis nehmen kannst und nur zeigen mußt, daß die Matrix, die ich angegeben habe, wirklich die inverse ist? (Ich will Dich nicht am Rechnen hindern, ich sage das nur, falls die zeit bei Dir knapp ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 28.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Vielen Dank, das hat mir schon mal ein gutes Stück weitergeholfen! Wie das neutrale Element zustande kommt, habe ich jetzt verstanden. Noch eine Zwischenfrage zur Berechnung des inversen Elements. Du sagst, ich bekomme 4 Gleichungen.
Liege ich richtig, dass diese 4 Gleichungen folgende sind:
ax + bz = 1
ay + bt = 0
cx + dz = 0
cy + dt = 1
Ich habe diese Gleichungen nach x, y, z und t aufgelöst und versucht durch Einsetzen auf die Lösungen d, -b, -c und a zu kommen. Es funktioniert jedoch nicht. Ist mein Ansatz falsch oder habe ich Rechenfehler gemacht?
Viele Grüße
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>
> Liege ich richtig, dass diese 4 Gleichungen folgende
> sind:
> ax + bz = 1
> ay + bt = 0
> cx + dz = 0
> cy + dt = 1
> Ich habe diese Gleichungen nach x, y, z und t aufgelöst
Hallo,
das ist der richtige Weg, wenn Du unbedingt selbst berechnen möchtest, wie die inverse Matrix aussieht.
Wenn's nicht klappt, hast Du Dich vermutlich verrechnet, sicherheitshalber kannst Du nochmal überprüfen, ob ich bei der Matrizenmultiplikation keinen Fehler gemacht habe. Bei mir stehen die Matrizen als zeilen im Eingabefenster, da kann leicht mal etwas schiefgehen.
Für die Aufgabe reicht es allerdings, wenn Du nachweist, daß die von mir gelieferte Matrix die Inverse ist. (Und daß sie die "richtige" Determinante hat, muß man auch vorrechnen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
wie so muss man zeigen, dass es die richtige dertiminante hat?
wenn ja, wäre die lösung zu zeigen, dass die determinante ad-bc ist?
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> wie so muss man zeigen, dass es die richtige dertiminante
> hat?
Hallo,
mit "es" meinst Du jetzt die Determinante der inversen Matrix?
Rechne sie aus: links oben* rechts unten - links unten *rechts oben.
Bei Aufgabe a) muß sie ungleich Null sein,
bei Aufgabe b) sogar =1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
wie geht das denn?
wenn ich jetzt die determinante von der inversen matrix ausrechne komme ich auf
da-(-b)(-c)= ad-bc
aber das ist ja ein Term und keine ZAhl geschweige denn eine 1.....
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> wie geht das denn?
>
> wenn ich jetzt die determinante von der inversen matrix
> ausrechne komme ich auf
>
> da-(-b)(-c)= ad-bc
>
> aber das ist ja ein Term und keine ZAhl geschweige denn
> eine 1.....
Allmählich verliere ich ja ein bißchen den Überblick.
Deine Matrix war [mm] \pmat{ a & b \\ c & d}. [/mm]
Die inverse Matrix dazu ist [mm] \bruch{1}{ad-bc}\pmat{ d & -b \\ -c & a}=\pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{d}{ad-bc}}.
[/mm]
Rechne nun die det. aus: man erhält det [mm] \pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{d}{ad-bc}}=\bruch{1}{ad-bc} [/mm] (ausrechnen)
zu Aufgabe a) Wenn die Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d} [/mm] aus der ersten Menge kommt, gilt für ihre Determinante [mm] ad-bc\not=0
[/mm]
Die det. der Inversen ist [mm] \bruch{1}{ad-bc}, [/mm] und das ist dann auch [mm] \not=0
[/mm]
zu Aufgabe b) Wenn die Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d} [/mm] aus der zweiten Menge kommt, gilt für ihre Determinante ad-bc=1.
Die det. der Inversen ist [mm] \bruch{1}{ad-bc}, [/mm] und das ist dann auch =1.
Eine Bemerkung noch zur inversen Matrix im Fall der zweiten Menge. Neben der Determinante muß man hier auch prüfen, ob die inverse Matrix nur Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat und nicht etwa Brüche. Wenn Du dran denkst, daß ad-bc=1, siehst Du das sofort.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 27.10.2007 | | Autor: | glebi |
> Ist g $ [mm] \in [/mm] $ U, so ist auch 1/g $ [mm] \in [/mm] $ U
Übersetzt: zu jedem Element, welches in U liegt, ist auch das Inverse in U.
Du mußt also herausfinden, ob zu jeder Matrix in Deiner Menge auch die Inverse Matrix drin liegt.
Wann liegt sie drin? Wenn auch ihre Determinante=1 ist.
hmm ich habe gedacht bei ganzen zahlen gibt es aber kein inverses element? oder habe ich da unrecht? =/
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> > Ist g [mm]\in[/mm] U, so ist auch 1/g [mm]\in[/mm] U
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> Übersetzt: zu jedem Element, welches in U liegt, ist auch
> das Inverse in U.
> Du mußt also herausfinden, ob zu jeder Matrix in Deiner
> Menge auch die Inverse Matrix drin liegt.
> Wann liegt sie drin? Wenn auch ihre Determinante=1 ist.
>
>
> hmm ich habe gedacht bei ganzen zahlen gibt es aber kein
> inverses element? oder habe ich da unrecht? =/
Du hast schon irgendwie recht - bloß paßt Deine Bemerkung nicht zur Aufgabe.
Hier ist nirgendwo von ganzen Zahlen die Rede. Die zu betrachtenden Elemente sind doch Matrizen (über [mm] \IR).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
Hallo, hab mal ne weitere frage zu dieser aufgabe:
zu den gruppenaxiomen gehört doch auch die Kommutativität, also, das A*B=B*A ist... aber wenn ich zwei Matrizen multipliziere und die Matrizen umdrehe und nochmals multipliziere kommt nicht dasselbe raus...
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> Hallo, hab mal ne weitere frage zu dieser aufgabe:
> zu den gruppenaxiomen gehört doch auch die Kommutativität,
Nein. Für Gruppe ist die Kommutativität nicht gefordert.
Die Kommutativität muß man zeigen, wenn man "abelsche Gruppe" zeigen soll.
> also, das A*B=B*A ist... aber wenn ich zwei Matrizen
> multipliziere und die Matrizen umdrehe und nochmals
> multipliziere kommt nicht dasselbe raus...
Richtig. Aber kein Widerspruch zur Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
oh ja stimmt!!!!!!!!!!!!! Danke für diesen Tip!!!!! Das hatte ich ja ganz vergessen mit diesen ableschen gruppen!!! danke vielmals!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
was ist denn der genaue unterschied zwischen den beiden matrizen? Dass die obere reele Zahlen beinhaltet und die untere nur ganze Zahlen? und was für aussagen haben den n
>ad-bc[mm]\not=[/mm]0
>ad-bc=1
Ich weiß nur, dass das determinanten sind...
Und sind die unteren matrizen teilmengen der oberen matrizen?
In unteren Beiträgen hab ich gelesen, dass man dafür Untergruppenkriterien zeigen muss, dass habe ich nicht genau verstanden. Was sind denn Untergruppenkriterien?
lg froggie
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> was ist denn der genaue unterschied zwischen den beiden
> matrizen? Dass die obere reele Zahlen beinhaltet und die
> untere nur ganze Zahlen? und was für aussagen haben den n
>
> >ad-bc[mm]\not=[/mm]0
>
> >ad-bc=1
>
> Ich weiß nur, dass das determinanten sind...
>
> Und sind die unteren matrizen teilmengen der oberen
> matrizen?
> In unteren Beiträgen hab ich gelesen, dass man dafür
> Untergruppenkriterien zeigen muss, dass habe ich nicht
> genau verstanden. Was sind denn Untergruppenkriterien?
>
> lg froggie
Hallo,
wir schauen ja zwei Mengen von 2x2-Matrizen an.
Die obere Menge enthält diejenigen Matrizen, welche Einträge aus [mm] \IR [/mm] haben, und deren Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist.
Die untere Menge enthält diejenigen Matrizen, welche Einträge aus [mm] \IZ [/mm] haben, und deren Determinante =1 ist.
Daß die untere Menge eine Teilmenge der oberen ist, ist klar.
Statt daß wir für die untere alle Gruppenaxiome nachweisen, können wir zeigen, daß sie eine Untergruppe der oberen ist. Das spart uns einiges an Arbeit,
denn wir müssen nur noch zeigen, daß diese Menge nichtleer ist,
die Verknüpfung zweier Elemente wieder drin liegt (also Einträge aus [mm] \IZ [/mm] und det=1),
und daß mit jedem Element auch sein Inverses drin liegt, also also Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat und die det=1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
> denn wir müssen nur noch zeigen, daß diese Menge nichtleer
> ist,
wieso? :) heißt das, dass ich zeigen soll, dass die determinante nicht gleich null is?
> die Verknüpfung zweier Elemente wieder drin liegt (also
> Einträge aus [mm]\IZ[/mm] und det=1),
> und daß mit jedem Element auch sein Inverses drin liegt,
> also also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat und die det=1.
ach so, ich erkenne also, bei matrizen, dass sie wieder in der Ausgangsmenge drinne sind wenn ihre Determinante (in dieser Aufgabe) wieder gleich 1 ist?? :)
>
> Gruß v. Angela
oh man diese Aufgabe ist ja soooooooooooooooooooooo umfangreich!!!!! MUSS man das alles wirklich noch zeigen...... :)
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> > denn wir müssen nur noch zeigen, daß diese Menge nichtleer
> > ist,
>
> wieso? :) heißt das, dass ich zeigen soll, dass die
> determinante nicht gleich null is?
Nein. Du mußt ein konkretes Element vorweisen, welches in der Menge liegt.
Welches also Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat, und dessen Determinante =1 ist.
Ich glaube ich hatte es in diesem Thread schon irgendwo geschrieben:
sinnigerweise schaut man hier, ob das neutrale Element der Obermenge auch in der betrachteten Teilmenge liegt. Sonst kann man gleich einpacken, wenn das neutrale Element nicht drin ist, gibt's keine (Unter-)Gruppe.
Aber in diesem Falle ist es drin.
>
> > die Verknüpfung zweier Elemente wieder drin liegt (also
> > Einträge aus [mm]\IZ[/mm] und det=1),
> > und daß mit jedem Element auch sein Inverses drin
> liegt,
> > also also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat und die det=1.
> ach so, ich erkenne also, bei matrizen, dass sie wieder in
> der Ausgangsmenge drinne sind wenn ihre Determinante (in
> dieser Aufgabe) wieder gleich 1 ist?? :)
Ja, und die Einträge müssen aus [mm] \IZ [/mm] sein.
> oh man diese Aufgabe ist ja soooooooooooooooooooooo
>> umfangreich!!!!!
Dieser Thread ist bestimmt viel umfangreicher als die Aufgabe.
> MUSS man das alles wirklich noch
> zeigen...... :)
Ja. Alles. Aber es ist eigentlcih nicht so schwierig, wenn man erstmal weiß, was zu tun ist.
(Allerdings: wenn ma nie mit Matrizen zu tun hatte und Gruppen für einen neu sind, ist's doch schwierig... )
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
>
> Nein. Du mußt ein konkretes Element vorweisen, welches in
> der Menge liegt.
> Welches also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat, und dessen Determinante
> =1 ist.
konkretes Element? also einfach mal richtige Zahlen in die Matrik einsetzen?
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>
> >
> > Nein. Du mußt ein konkretes Element vorweisen, welches in
> > der Menge liegt.
> > Welches also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat, und dessen
> Determinante
> > =1 ist.
>
>
> konkretes Element? also einfach mal richtige Zahlen in die
> Matrix einsetzen?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
das neutrale element ist bei beiden mengen gleich oder?
oh man, ich glaub ich hab die aufgabe jetzt endlich mal kapiert!!!
Danke nochmals für alle deine hilfreichen antworten!!!! Die haben mir echt sehr(!) geholfen!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 So 28.10.2007 | | Autor: | glebi |
oh mann ich nich =/ kannst mir da helfen?
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> das neutrale element ist bei beiden mengen gleich oder?
Ja.
Du mußt Dich überzeugen, ob es wirklcih in der betrachteten Menge liegt. (Liegt es)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
hab die determinante von der inversen matrix det ((1/(ad-bc)( [mm] \pmat{ a & b \\ c & d })) [/mm] gerade noch mal ausgerechnet, da kommt gleich 1 raus.... muss also keine richtigen zuahlen einsetzen oder? dafür hab ich das doch schon für beide mengen gezeigt oder, denn 1 [mm] \not= [/mm] 0 und 1=1
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> hab die determinante von der inversen matrix det
> ((1/(ad-bc)( [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }))[/mm] gerade noch mal
> ausgerechnet, da kommt gleich 1 raus....
Hallo,
die Matrix, die Du oben angibst, ist nicht die Inverse zu [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ! Vergleiche das nochmal.
Es kommt auch nicht 1 heraus, sofern nicht ad-bc=1 ist.
Bedenke hierzu folgendes:
es ist z.b. [mm] \bruch{3}{4}\pmat{ \bruch{3a}{4} & \bruch{3b}{4} \\ \bruch{3c}{4} & \bruch{3d}{4} }
[/mm]
Irgendwo im Thread hatte ich das mit der Det. Inversen ja auch vorgerechnet.
> muss also keine
> richtigen zuahlen einsetzen oder?
Du darfst es nicht! Deine Rechnungen sollen ja Gültigkeit haben für sämtlcihe Matrizen aus der jeweiligen Menge.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 28.10.2007 | | Autor: | glebi |
also zuerst gehe ich so vor:
[mm] (\pmat{ a1 & b1 \\ c1 & d1 } [/mm] * [mm] \pmat{a2 & b2 \\ c2 & d2 } [/mm] ) * [mm] \pmat{ a3 & b3 \\ c3 & d3 } [/mm] = [mm] \pmat{ a1 & b1 \\ c1 & d1 } [/mm] * [mm] (\pmat{a2 & b2 \\ c2 & d2 } [/mm] * [mm] \pmat{ a3 & b3 \\ c3 & d3 }) [/mm]
danach zeige ich dass die untere gruppe eine teilgruppe der oberen ist durch untergrußßenkriterien und das wars?
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Für die Gruppeneigenschaften der ersten Menge [mm] M_1 [/mm] mußt Du zeigen:
1. [mm] M_1 [/mm] ist nichtleer (Element vorzeigen)
2. Die Verknüpfung ist eine innere, daß Produkt zweier Matrizen aus [mm] M_1 [/mm] liegt wieder [mm] M_1 [/mm] (Determinante [mm] \not=)
[/mm]
3. Die Verknüpfung ist assoziativ
> [mm](\pmat{ a1 & b1 \\ c1 & d1 }[/mm] * [mm]\pmat{a2 & b2 \\ c2 & d2 }[/mm] )
> * [mm]\pmat{ a3 & b3 \\ c3 & d3 }[/mm] = [mm]\pmat{ a1 & b1 \\ c1 & d1 }[/mm]
> * [mm](\pmat{a2 & b2 \\ c2 & d2 }[/mm] * [mm]\pmat{ a3 & b3 \\ c3 & d3 })[/mm]
Du müßtest zeigen, daß beide Male dasselbe herauskommt.
Wenn Ihr allerdings schon gezeigt habt, daß die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, darfst Du Dich darauf berufen und hast Arbeit gespart.
4. Es gibt ein neutrales Element in [mm] M_1. [/mm] (Eineheitsmatrix aus dem Hut ziehen, zeigen, daß ihre Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, und vorrechen, daß sie wirklcih das neutrale Element ist.)
5. Zu jeder beliebigen Matrix aus [mm] M_1 [/mm] gibt es eine Inverse in [mm] M_1. [/mm] (Inverse vorzeigen, nachweisen, daß die [mm] Det.\not=0 [/mm] ist, sie also in [mm] M_1 [/mm] liegt, und zeigen, daß sie wirklich tut, was eine Inverse tun muß)
Damit hast du dann gezeigt, daß [mm] M_1 [/mm] eien gruppe ist.
> danach zeige ich dass die untere gruppe eine teilgruppe der
> oberen ist durch untergrußßenkriterien und das wars?
Für [mm] M_2 [/mm] die Untergruppeneigenschaften:
1. [mm] M_2 \subseteq M_1
[/mm]
2. [mm] M_2 \not=\emptyset. [/mm] (Ein Element vorzeigen)
3. Die Matrizenmultiplikation ist eine innere Verknüpfung, d. h. das Produkt zweier Elemente aus [mm] M_2 [/mm] leigt wieder in [mm] M_2 [/mm]
(multiplizieren, gucken, ob die Einträge [mm] \in \IZ [/mm] sind und die det=1)
4. Wenn man irgendein Element aus [mm] M_2 [/mm] nimmt, liegt sein inverses auch in [mm] M_2 [/mm] (Gucken, ob das Inverse Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat und die Det =1 ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 28.10.2007 | | Autor: | glebi |
das klingt alles sehr einfach...aber ich bin es zb nich gewohnt aus der schule mir grad mal so was aus dem hut zu ziehen..in den vorlesungen sind wir lange nich soweit wie auf den übungsblättern..deshalb fällt einem das sehr schwer sich sowas aus dem hut zu ziehen =/
>4. Es gibt ein neutrales Element in $ [mm] M_1. [/mm] $ (Eineheitsmatrix aus dem Hut ziehen, zeigen, daß ihre Determinante $ [mm] \not=0 [/mm] $ ist, und vorrechen, daß sie wirklcih das neutrale Element ist.)
wie ziehe ich mir eine einheitsmatrix aus dem hut?
oder zb ein element vorzeigen..reicht es da wenn ich schreib a [mm] \in [/mm] M?
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> in den vorlesungen sind wir lange nich soweit wie
> auf den übungsblättern..deshalb fällt einem das sehr schwer
> sich sowas aus dem hut zu ziehen =/
Das sollte eigentlcih nicht vorkommen.
Sind Matrizenmultiplikation, Gruppen und Untergruppen nicht dran gewesen?
(Manchmal ist's so schnell vorbei, wie's gekommen ist...)
>
> >4. Es gibt ein neutrales Element in [mm]M_1.[/mm] (Eineheitsmatrix
> aus dem Hut ziehen, zeigen, daß ihre Determinante [mm]\not=0[/mm]
> ist, und vorrechen, daß sie wirklcih das neutrale Element
> ist.)
>
> wie ziehe ich mir eine einheitsmatrix aus dem hut?
Ganz einfach.
Du sagst: ich betrachte [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Diese Matrix liegt in der Menge, weil...,
und für alle Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ist [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a & b \\ c & d }.
[/mm]
>
> oder zb ein element vorzeigen..reicht es da wenn ich
> schreib a [mm]\in[/mm] M?
Nein. Damit ist noch nicht gezeigt, daß es eins gibt.
Gib ein ganz konkretes Element an (z.B. Einehitsmatrix), und zeig, daß es wirklich in der Menge ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 28.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
ich habe die aufgabe jetzt soweit verstanden,allerdings habe ich noch ein problem bei den untergruppeneigenschaften.
> 3. Die Matrizenmultiplikation ist eine innere Verknüpfung,
> d. h. das Produkt zweier Elemente aus [mm]M_2[/mm] leigt wieder in
> [mm]M_2[/mm]
> (multiplizieren, gucken, ob die Einträge [mm]\in \IZ[/mm] sind und
> die det=1)
ich schaffe es einfach nicht zu zeigen,dass die determinante 1 ist. wie mache ich das?
gruß rezzana
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> > 3. Die Matrizenmultiplikation ist eine innere Verknüpfung,
> > d. h. das Produkt zweier Elemente aus [mm]M_2[/mm] leigt wieder in
> > [mm]M_2[/mm]
> > (multiplizieren, gucken, ob die Einträge [mm]\in \IZ[/mm] sind und
> > die det=1)
>
> ich schaffe es einfach nicht zu zeigen,dass die
> determinante 1 ist. wie mache ich das?
Zeig Deine Multiplikation, zeig Deine Determinante, besser:lies hier.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 28.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
> besser:lies hier.
den beitrag hatte ich ganz übersehen-danke für den hinweis.
fruß rezzana
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
hab mal ne frage zum Aufschreiben und gleichzeitig zum inhalt:
Hier will ich die das Gruppenaxiom "Abgeschlossenheit" überprüfen, hab ich das richtig aufgeschrieben?
A [mm] \in M_{2}(\IR), B\in M_{2}(\IR),dann [/mm] muss auch AB [mm] \in M_{2}(\IR), [/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ e & f \\ g & h }= \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh }
[/mm]
für die Determinante bekomme ich dann aedh+bcgf-adgf-bhce raus... irgendwie kann ich nicht einsehen, wieso das 1 sein soll :)
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> hab mal ne frage zum Aufschreiben und gleichzeitig zum
> inhalt:
> Hier will ich die das Gruppenaxiom "Abgeschlossenheit"
> überprüfen, hab ich das richtig aufgeschrieben?
>
> A [mm]\in M_{2}(\IR), B\in M_{2}(\IR),dann[/mm] muss auch AB [mm]\in M_{2}(\IR),[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ e & f \\ g & h }= \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh }[/mm]
>
> für die Determinante bekomme ich dann aedh+bcgf-adgf-bhce
=ad(eh-gf) - bc(he-gf)=(ad-bc)(eh-gf)
Beide Faktoren sind nach Voraussetzung (Det. der Startmatrizen) [mm] \not=0, [/mm] also auch ihr Produkt.
> raus... irgendwie kann ich nicht einsehen, wieso das 1 sein
> soll :)
Achso, Du bist bei der zweiten Menge. Dieselbe Rechnung, und dann: weil 1*1=1 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 28.10.2007 | | Autor: | froggie |
> denn wir müssen nur noch zeigen, daß diese Menge nichtleer
> ist,
sie ist doch nicht leer, [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
a, b, c ,d sind doch drinne
> die Verknüpfung zweier Elemente wieder drin liegt (also
> Einträge aus [mm]\IZ[/mm] und det=1),
> und daß mit jedem Element auch sein Inverses drin liegt,
> also also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat und die det=1.
muss ich also noch mal eine Inverse Matrix finden? Ist das nicht dieselbe wie von der anderen?
>
> Gruß v. Angela
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> > denn wir müssen nur noch zeigen, daß diese Menge nichtleer
> > ist,
>
> sie ist doch nicht leer, [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> a, b, c
> ,d sind doch drinne
Na, die Einträge sollen doch aus [mm] \IZ [/mm] sein und nicht irgendwelche Buchstaben. Gib ein einziges konkretes Element an.
> > die Verknüpfung zweier Elemente wieder drin liegt (also
> > Einträge aus [mm]\IZ[/mm] und det=1),
> > und daß mit jedem Element auch sein Inverses drin
> liegt,
> > also also Einträge aus [mm]\IZ[/mm] hat und die det=1.
>
> muss ich also noch mal eine Inverse Matrix finden? Ist das
> nicht dieselbe wie von der anderen?
Doch, es ist dieselbe. Du mußt nur klären, ob sie in [mm] M_2 [/mm] liegt, also Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat und die Det. =1.
Gruß v. Angela
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