Gruppen der Ordnung 81 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Andy |
Hi zusammen!
Ich soll bis auf Isomorphie alle Gruppen
der Ordnung 81 klassifizieren.
Kann mir dabei jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 Do 25.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andy und willkommen im MatheRaum  !
> Ich soll bis auf Isomorphie alle Gruppen
> der Ordnung 81 klassifizieren.
> Kann mir dabei jemand helfen?
Das ist bei mir nnun auch schon ein Weilchen her, deswegen traue ich mir keine sichere Antwort zu (und habe zu dieser Tageszeit auch keinen Nerv mehr, es nachzulesen; wenn meine Versuche morgen von den Mehr-Wissenenden unkommentiert bleiben, lese ich mich noch mal ein).
Die Gruppen haben alle Primzahlpotenz, weswegen doch die Sylow-Sätze anwendbar sind. Soweit ich mich erinnere, müßte jede Gruppe $G$ mit [mm] $|G|=81=3^4$ [/mm] isomorph zu einer der folgenden sein:
[mm] $\IZ_{81}$
[/mm]
[mm] $\IZ_{3}\oplus\IZ_{27}$
[/mm]
[mm] $\IZ_{9}\oplus\IZ_{9}$
[/mm]
[mm] $\IZ_{3}\oplus\IZ_{3}\oplus\IZ_{9}$
[/mm]
[mm] $\IZ_{3}\oplus\IZ_{3}\oplus\IZ_{3}\oplus\IZ_{3}$
[/mm]
Wie gesagt, ich bin mir überhaupt nicht sicher, wahrscheinlich sind einige dieser 5 Gruppen auch noch zueinander isomorph, so dass es vielleicht weniger als diese 5 Klassen von Gruppen der Ordnung 81 gibt.
Es gibt aber noch Sätze, die Aussagen über die Gruppen [mm] $\IZ_{p^2}$, [/mm] $p$ prim machen (ich meine, [mm] $\IZ_{p^2}$ [/mm] wäre abelsch) und zusammen mit der Eigenschaft "zyklisch" könnte man dann nachweisen, dass meine Gruppen vielleicht doch nicht isomorph zueinander sind, dass es also tatsächlich 5 Klassen gibt.
Morgen mehr dazu, hoffentlich von einem wissenden Mitglied des MatheRaum!
--Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 31.03.2004 | | Autor: | Andy |
Hi Marc!
Danke für deine Hilfe!
Ich hätte noch eine Frage:
Müssen alle Gruppen der Ordnung 81 abelsch sein?
Wenn ja hast du glaube ich alle genannt,
ansonsten würden noch welche fehlen.
Gruß, Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 31.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Andy,
ja, du hast Recht, es sind nur die abelschen Gruppen. Darauf hatte ich gar nicht geachtet und daher hatte ich Marc zu Unrecht signalisiert, dass die Aufgabe so vollständig gelöst ist. Da zumindestens ich mich aber derzeit zu wenig mit nicht-abelschen Gruppen auskenne (vielleicht geht es jemand anderem ja besser), verweise ich dich einfach auf die folgende komplette Aufzählung ohne weiteren Kommentar (ein solcher wäre dir nicht hilfreich, da ich mir nicht sicher bin):
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-wuppertal.de/~green/Coho/81gps/index_de.html
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 01.04.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Andy,
du kannst mir ja mal sagen, wenn du die Antwort genau kennst und weiß, wie man da vorgeht. Ich habe mir bisher nur folgendes überlegt:
Für das Zentrum [mm]|Z(G)|[/mm] gilt, wenn [mm]G[/mm] mit [mm]|G|=81[/mm] nicht-abelsch ist: [mm]|Z(G)|=3[/mm] oder [mm]|Z(G)|=9[/mm]. (Denn [mm]|Z(G)|=1[/mm] kann wegen der Klassengleichung nicht richtig sein und im Falle [mm]|Z(G)|=27[/mm] wäre [mm]G/Z(G)[/mm] zyklisch, was auch nicht sein kann.) Weiterhin muss [mm]G[/mm] mindestens zwei minimale Erzeuger von Dreierpotenzordnung haben.
Aber wie kriege ich daraus eine vernünftige Klassifizierung hin?
Es würde mich interessieren. (Und meine Algebra-Vorlesungen sind neun Jahre her...)
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Fr 02.04.2004 | | Autor: | Andy |
Hi Julius!
Danke für deine Hilfe und den Link!
Leider habe ich keine Ahnung wie man dabei vorgeht. Ich studiere im
dritten Semester und habe gerade die Einführung in die Algebra gehört.
Ganz am Ende haben wir einige Gruppen kleinerer Ordnung klassifiziert.
Eine wiss. Mitarbeiterin gab mir den Hinweis, ich könnte für die
Prüfungsvorbereitung mal versuchen, die Gruppen mit Ordnung 81
zu klassifizieren. Aus deinem Link geht hervor, dass es 15 Stück sind,
das hätte ich gar nicht vermutet. Da die meisten nichtabelschen so
kompliziert gebaut sind, vermute ich, dass sie nur die abelschen Gruppen
gemeint hat. Dazu brauche ich ja nur den Struktursatz für endlich
erzeugte abelsche Gruppen.
Nochmal danke für eure Hilfe!
Euer Forum finde ich ganz toll, ich habe es vor kurzem entdeckt,
als ich nach einer Alternative für zahlreich.de gesucht habe.
Die sind mittlerweile richtig scheiße geworden.
Ciao, Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 02.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi,
> Euer Forum finde ich ganz toll, ich habe es vor kurzem
> entdeckt,
> als ich nach einer Alternative für zahlreich.de gesucht
> habe.
> Die sind mittlerweile richtig scheiße geworden.
Herzlich Willkommen im Matheraum! Lies dir mal meine Meinung zu zahlreich.de durch: https://matheraum.de/fremdforen .
Liebe Grüße
Stefan
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