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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 11.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Gruppe
a) Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 (5,8 und 10). Wieviele Elemente erzeugen G?
b)Man zeige, dass die Matizen [mm] \pmat{ 1 & \\ & 2 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ & 2 } [/mm] in [mm] GL_2(\IR) [/mm] zueinander konjugiert sind.
c) Zeigen oder widerlegen Sie: Sind a.b zwei beliebige Elemente einer Gruppe, so haben die beiden Produkte ab und ba dieselbe Ordnung. |
Irgendwie ist es wie verhext. Ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe und es will mir kein Ansatz einfallen.
Zu a)
Hier habe ich etwas gemacht, leider ist mir danach aufgefallen, dass es das Falsche war. Ich habe keine zyklische Gruppe genommen, sondern [mm] S_3. [/mm] Jetzt kenne ich aus der Vorlesung nur konkrete Beispiele für zyklische Gruppen, jedoch will sich mir nicht erschließen, wie ich die Anzahl erzeugender Elemente für eine allgemeine zyklische Gruppe bestimmen kann.
b)
Was heißt konjugiert? Im Internet finden sich leider nur Artikel welche sich mit komplex konjugierten Matrizen beschäftigen. Dies ist wohl eher nicht gemeint.
[mm] GL_2(\IR) [/mm] sind alle invertierbaren 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen in [mm] \IR [/mm] , richtig?
c)
Hier habe ich das gleiche Problem wie bei a). Wie kann ich die Ordnung in einer beliebigen Gruppe bestimmen. (Des Weiteren: Mir ist klar, was die Ordnung einer Gruppe und eines Elementes ist, was jedoch ist die Ordnung einer Verknüpfung von zwei Elementen (z.B.: ab))
Gruß
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 So 11.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
zu a) habe ich ein Teilergebnis. Die Lösung des Poblems scheint die Eulersche Phi-Funktion zu sein. D.h. die Anzahl der erzeugenden Elemente einer Gruppe mit Ordnung n ist die Anzahl an Teilerfremden Zahlen <n. Nur warum ist dies so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Zu a)
> Hier habe ich etwas gemacht, leider ist mir danach
> aufgefallen, dass es das Falsche war. Ich habe keine
> zyklische Gruppe genommen, sondern [mm]S_3.[/mm] Jetzt kenne ich aus
> der Vorlesung nur konkrete Beispiele für zyklische Gruppen,
> jedoch will sich mir nicht erschließen, wie ich die Anzahl
> erzeugender Elemente für eine allgemeine zyklische Gruppe
> bestimmen kann.
mach dir klar, dass alle zyklischen gruppen gleicher ordnung zueinenader isomorph sind. sind etwa $G$ und $H$ zyklische gruppen der ordnung $n$, erzeugt von einem element $g$ beziehungsweise $h$, so ist ein isomorphismus gegeben durch $G [mm] \longrightarrow [/mm] H; [mm] \; g^k \longmapsto h^k$ [/mm] für $k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] (sowas sollte aber in der vorlesung zumindest mal erwähnt worden sein). nimm dir dann eine konkrete, dir bekannte zyklische gruppe der ordnung $5$ und überlege dir, welche elemente die gesamte gruppe erzeugen.
> b)
> Was heißt konjugiert? Im Internet finden sich leider nur
> Artikel welche sich mit komplex konjugierten Matrizen
> beschäftigen. Dies ist wohl eher nicht gemeint.
in einer gruppe $G$ nennt man elemente [mm] $g_1, g_2 \in [/mm] G$ zueinander konjugiert, wenn es ein $h [mm] \in [/mm] G$ gibt mit [mm] $h^{-1}g_1h [/mm] = [mm] g_2$ [/mm] (manchmal wird die reihenfolge auch gedreht und man verlangt [mm] $hg_1h^{-1} [/mm] = [mm] g_2$ [/mm] - das ist geschmalksache). aber auch das sollte in der vorlesung vorgekommen sein, sonst kann man euch doch solche aufgaben gar nicht stellen... konkret zur aufgabe: was hat konjugation mit basiswechsel zu tun?
> [mm]GL_2(\IR)[/mm] sind alle invertierbaren 2 [mm]\times[/mm] 2 Matrizen in
> [mm]\IR[/mm] , richtig?
ja.
> c)
> Hier habe ich das gleiche Problem wie bei a). Wie kann ich
> die Ordnung in einer beliebigen Gruppe bestimmen. (Des
> Weiteren: Mir ist klar, was die Ordnung einer Gruppe und
> eines Elementes ist, was jedoch ist die Ordnung einer
> Verknüpfung von zwei Elementen (z.B.: ab))
da die multiplikation eine innere verknüpfung ist, ist mit $a$ und $b$ auch wieder ihr produkt ein element der gruppe (etwa ist in [mm] $(\mathbb{Z}, [/mm] +)$ mit $2, 3 [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] auch $5 = 2 + 3 [mm] \in \mathbb{Z}$) [/mm] und für dieses kannst du seine ordnung bestimmen.
um mal bei konjugation zu bleieben: sind $ab$ und $ba$ etwa konjugiert? kannst du zeigen, dass konjugierte elemente die selbe ordnung haben?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
Danke für deine Hinweise. Ich konnte dank Dir alle Aufgaben lösen.
Gruß
Rutzel
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