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| Aufgabe | | Zeigen Sie durch Anwendung der Gruppenaxiome, dass eine Gruppe (G,*) genau dann kommutativ ist, wenn [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \overline{a \* b} [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als ersten Schritt habe ich versucht zu beweisen, dass invers a*b = invers a * invers b ist. Dabei ist bekannt dass [mm] \overline{a \* b} [/mm] * (a *b) = e ist. (e = neutrales Element) Also versuche ich nun zu beweisen, dass [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] * (a * b) = e ist.
Diesen beweis konnte ich wie folgt auch erbringen:
[mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] * (a * b)
= [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] (\overline{b} [/mm] * b) * a | nach Gruppenaxiom 1
= [mm] \overline{a} [/mm] * e * a | nach G3
= [mm] \overline{a} [/mm] * a | nach G2
= e | nach G3
Damit ist bewiesen, dass [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] * (a * b) = e und somit ist [mm] \overline{a \* b} [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b}.
[/mm]
Nun komme ich aber nicht mehr weiter. Ich habe absolut keine Ahnung und auch keine Idee wie ich beweisen soll, dass die Gruppe kommutativ, also a * b = b * a ist.
Kann mir da jemand einen Tipp geben? Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 So 25.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt [mm] $\overline{a \* b}=\overline{b} \* \overline{a}$ [/mm] (multipliziere beide Seiten mit $a [mm] \* [/mm] b$) und auch nur das, wenn die Gruppe nicht kommutativ ist.
Und wenn [mm] \overline{a \* b}=\overline{a} \* \overline{b} [/mm] gilt, dann muss man ja a und b vertauschen dürfen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hey
Ich merke schon wieder, dass logische Mathematik überhaupt nicht mein Fall ist *seufz*
>Es gilt $ [mm] \overline{a * b}=\overline{b} [/mm] * [mm] \overline{a} [/mm] $ (multipliziere beide Seiten mit $ a * b $) und auch nur das, wenn die Gruppe nicht kommutativ ist.
Diesen Beweis haben wir in einer Übung schon erbracht. Aber was bringt er jetzt hier? Das versteh ich nicht.
>Und wenn $ [mm] \overline{a * b}=\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] $ gilt, dann muss man ja a und b vertauschen dürfen.
Warum? Das muss ich doch irgendwie beweisen, oder nicht? Aus meiner Vorgehensweise geht das nicht heraus.
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> Hey
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> Ich merke schon wieder, dass logische Mathematik überhaupt
> nicht mein Fall ist *seufz*
>
> >Es gilt [mm]\overline{a * b}=\overline{b} * \overline{a}[/mm]
> (multipliziere beide Seiten mit [mm]a * b [/mm]) und auch nur das,
> wenn die Gruppe nicht kommutativ ist.
>
> Diesen Beweis haben wir in einer Übung schon erbracht.
> Aber was bringt er jetzt hier? Das versteh ich nicht.
>
> >Und wenn [mm]\overline{a * b}=\overline{a} * \overline{b}[/mm]
> gilt, dann muss man ja a und b vertauschen dürfen.
>
> Warum? Das muss ich doch irgendwie beweisen, oder nicht?
> Aus meiner Vorgehensweise geht das nicht heraus.
Hallo,
Du hast gegeben
[mm]\overline{a * b}=\overline{a} * \overline{b}[/mm] ,
und Du weißt aus der Vorlesung
[mm] \overline{b*a}=\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b}.
[/mm]
Also ist [mm] \overline{a * b}=\overline{b*a}.\overline{b*a}
[/mm]
Dann hattet Ihr sicher auch, daß das Inverse eindeutig ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
gilt denn $ [mm] \overline{a \cdot{} b}=\overline{b} \cdot{} \overline{a} [/mm] $ immer? Das haben wir nämlich nur in einer Übung bewiesen, die völlig unrelevant zu der Aufgabe war.
Wenn das aber immer gilt, dann weiß ich also durch das eindeutige inverse, dass auch [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{b} [/mm] * [mm] \overline{a} [/mm] ist.
Und da das inverse gleich ist, muss auch das nichtinverse gleich sein? Also damit ist dann auch a *b = b *a ?? Habe ich das so richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> gilt denn [mm]\overline{a \cdot{} b}=\overline{b} \cdot{} \overline{a}[/mm]
> immer? Das haben wir nämlich nur in einer Übung bewiesen,
> die völlig unrelevant zu der Aufgabe war.
Ja, das gilt immer.
> Wenn das aber immer gilt, dann weiß ich also durch das
> eindeutige inverse, dass auch [mm]\overline{a}[/mm] * [mm]\overline{b}[/mm] =
> [mm]\overline{b}[/mm] * [mm]\overline{a}[/mm] ist.
Genau.
> Und da das inverse gleich ist, muss auch das nichtinverse
> gleich sein? Also damit ist dann auch a *b = b *a ?? Habe
> ich das so richtig verstanden?
Nun, das musst du dann daraus folgern. Betrachte doch mal [mm] $\overline{\overline{a} * \overline{b}}$ [/mm] anstelle [mm] $\overline{a * b}$.
[/mm]
LG Felix
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