Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Die Funktion f: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC^{X} [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ {0}, x -> [mm] e^{2\pi i x} [/mm] ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven und der multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen. Bestimmen Sie den Kern.
b) Das Bild von [mm] \IR [/mm] unter f ist der Einheitskreis [mm] S^{1}. [/mm] (Bemerkung: Die Gruppenmultiplikation entspricht anschaulich der Addition von Winkeln. Was macht f anschaulich?)
c) Zeige: Für jedes n hat [mm] \IC^{X} [/mm] genau eine zu [mm] Z_{n} [/mm] isomorphe Untergruppe. Dies ist sogar eine Untergruppe von [mm] S^{1} [/mm] und heißt Gruppe der n-ten Einheitswurzeln.
d) [mm] \mu \in S^{1} [/mm] heißt Einheizwurzel, wenn es n-te Einheitswurzel ist für ein n. Zeige: Ein Element von [mm] S^{1} [/mm] hat genau dann endliche Ordnung, wenn es eine Einheitswurzel ist. |
Puuuh... ganz schön viel.
Fangen wir mal bei a) an. Ich habe bereits gezeigt, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Jetzt muss ich noch Surjektivität zeigen und weiß nicht wie ich das machen soll. Ich weiß nicht mehr, wie man immer Surjektivität gezeigt hat. Durch einen indirekten Beweis?
Beim Kern weiß ich, dass er nur 0 ist. Muss ich das auch noch mathematische beweisen? Bzw. wie bestimmt man ihn mathematisch?
Grüße Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Jetzt geht's hier weiter, Leni:
> Zeigen Sie:
>
> a) Die Funktion f: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC^{X}[/mm] := [mm]\IC[/mm] \ {0}, x ->
> [mm]e^{2\pi i x}[/mm] ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
> zwischen der additiven und der multiplikativen Gruppe der
> komplexen Zahlen. Bestimmen Sie den Kern.
>
> b) Das Bild von [mm]\IR[/mm] unter f ist der Einheitskreis [mm]S^{1}.[/mm]
> (Bemerkung: Die Gruppenmultiplikation entspricht
> anschaulich der Addition von Winkeln. Was macht f
> anschaulich?)
>
> c) Zeige: Für jedes n hat [mm]\IC^{X}[/mm] genau eine zu [mm]Z_{n}[/mm]
> isomorphe Untergruppe. Dies ist sogar eine Untergruppe von
> [mm]S^{1}[/mm] und heißt Gruppe der n-ten Einheitswurzeln.
>
> d) [mm]\mu \in S^{1}[/mm] heißt Einheizwurzel, wenn es n-te
> Einheitswurzel ist für ein n. Zeige: Ein Element von [mm]S^{1}[/mm]
> hat genau dann endliche Ordnung, wenn es eine
> Einheitswurzel ist.
> Puuuh... ganz schön viel.
Das ist relativ ... Ich finde übrigens deinen Tippfehler bei Einheizwurzel eine jahreszeitlich gut passende Bereicherung der deutschen Sprache, ganz ganz niedlich!
> Fangen wir mal bei a) an. Ich habe bereits gezeigt, dass f
> ein Gruppenhomomorphismus ist. Jetzt muss ich noch
> Surjektivität zeigen und weiß nicht wie ich das machen
> soll. Ich weiß nicht mehr, wie man immer Surjektivität
> gezeigt hat. Durch einen indirekten Beweis?
Surjektiv heißt ja, alle Elemente aus [mm] \IC^{X} [/mm] sind Bilder. Wenn also y so ein Bild sein soll, muß es ein x [mm] \in \IC [/mm] geben mit y = [mm] e^{2\pi i x}. [/mm] Gibt es das für alle y [mm] \in \IC^{X}?
[/mm]
> Beim Kern weiß ich, dass er nur 0 ist.
Wirklich?
> Muss ich das auch
> noch mathematisch beweisen?
Ja, das müßtest du!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 04.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ich versteh anschaulich schon was surjektiv bedeutet. Aber ich weiß nicht, wie ich das in diesem Fall mathematisch beweisen soll. Soll ich einen Widerspruchsbeweis machen oder wie könnte man hier vorgehen?
Bei der Bestimmung des Kerns muss ich doch schauen, was alles auf das neutrale Element im Zielraum, also auf die 1, abgebildet wird, oder?
Kann ich dann das nicht folgendermaßen machen:
[mm] e^{2 \pi i x} [/mm] = 1
-> 2 [mm] \pi [/mm] i x * ln (e) = ln (1)
-> 2 [mm] \pi [/mm] i x = 0
-> x = 0
-> Der Kern ist ker={0}
Oder fehlt hier was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
bei der berechnung des kernes sollte man beachten, dass man bei komplexen zahlen nicht so einfach den logarithmus ziehen kann (mehrdeutigkeit). wenn man aber verwendet, dass $1 = [mm] \exp(2\pi [/mm] k), [mm] \; [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gilt und dies alle darstellungen der $1$ in dieser form sind, so folgt $x [mm] \in \ker [/mm] f [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] f(x) = 1 [mm] \; \Longleftrightarrow \; \exp(2 \pi [/mm] x) = [mm] \exp [/mm] (2 [mm] \pi [/mm] k), [mm] \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z} \; \Longleftrightarrow \; [/mm] x [mm] \in \mathbb{Z}$.
[/mm]
grüße
andreas
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> Surjektiv heißt ja, alle Elemente aus [mm]\IC^{X}[/mm] sind Bilder.
> Wenn also y so ein Bild sein soll, muß es ein x [mm]\in \IC[/mm]
> geben mit y = [mm]e^{2\piix}.[/mm] Gibt es das für alle y [mm]\in \IC^{X}?[/mm]
Ja die Definition von Surjektivität ist uns bekannt. Wenn die Funktion nicht surjektiv wäre müssten wir ja wohl wahrscheinlich ein y [mm] \in \IC^{x} [/mm] finden, das kein Urbild besitzt. Nun ist die Abbildung ja surjektiv und wir wissen nun eben nicht, wie man beweist, dass jedes Bild ein Urbild hat.
> > Beim Kern weiß ich, dass er nur 0 ist.
>
> Wirklich?
Ich hätte jetzt auch gesagt, dass das neutrale Element der additiven Gruppe (0) das einizge im Kern ist, denn wir brauchen in der Hochzahl ja eine 0 damit 1 rauskommt und die erreichen wir ja nur durch x=0 .
Wär echt cool, wenn wir weitere Vorschläge bekommen würden. Danke schon mal!
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 04.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Nochmal zu dieser Aufgabe. Ich habe wirklich überhaupt keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss. Kann mir jemand Tipps für die b,c und d geben? Das wäre so toll!!!
Danke!
Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 05.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Leni!
> Nochmal zu dieser Aufgabe. Ich habe wirklich überhaupt
> keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss. Kann mir jemand
> Tipps für die b,c und d geben? Das wäre so toll!!!
Bei deiner Argumentation übersiehst du, daß du bei den komplexen Zahlen unterwegs bist. Ich hoffe, du weißt aus deiner Vorlesung, daß
[mm] e^{2\pi i x} [/mm] = [mm] cos(2\pi [/mm] x) + [mm] i\*sin(2\pi [/mm] x) ist. Sonst kannst du diese Aufgbe überhaupt nicht bearbeiten. Aber mit dieser Formel müßtest du dir alles zurechtlegen können.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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