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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Guten Abend
Ich versuche grad den Beweis zu folgender Aussage nachzuvollziehen.Aber ich bin mir nicht sicher ob ich die Aussage richtig verstanden habe.
Sei f:G-->H ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen (G,*) und (H, ).Dann gilt
[mm] 1.f(e_{G})=e_{H}.
[/mm]
Bedeutet das,dass das Bild des neutralen Elementes von G das neutrale Element von H ist?
Wenn ja,nehm ich das einfach mal so hin und versuche den Beweis zu verstehen.Beweis:
[mm] f(e_{G})=f(e_{G}*e_{G})=f(e_{G})*f(e_{G}) \Rightarrow e_{H}=f(e_{G}).
[/mm]
Also bis zum Folgefeil versteh ich es,aber ich kann nicht nachvollziehen,wieso daraus folgt,dass [mm] e_{H}=f(e_{G}).
[/mm]
Kann mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank
lg
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Hi Mandy,
> Guten Abend
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> Ich versuche grad den Beweis zu folgender Aussage
> nachzuvollziehen.Aber ich bin mir nicht sicher ob ich die
> Aussage richtig verstanden habe.
>
> Sei f:G-->H ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen
> (G,*) und (H, ).Dann gilt
> [mm]1.f(e_{G})=e_{H}.[/mm]
> Bedeutet das,dass das Bild des neutralen Elementes von G
> das neutrale Element von H ist?
Nichts anderes steht da 
> Wenn ja,nehm ich das einfach mal so hin und versuche den
> Beweis zu verstehen.Beweis:
> [mm]f(e_{G})=f(e_{G}*e_{G})=f(e_{G})*f(e_{G}) \Rightarrow e_{H}=f(e_{G}).[/mm]
>
> Also bis zum Folgefeil versteh ich es,aber ich kann nicht
> nachvollziehen,wieso daraus folgt,dass [mm]e_{H}=f(e_{G}).[/mm]
> Kann mir das bitte jemand erklären?
Gemäß der Gleichheit ist doch offensichtlich $ [mm] f(e_G) [/mm] = [mm] f(e_G)*f(e_G) [/mm] $
Wie ist das neutr. Element einer Gruppe denn definiert?
>
> Vielen Dank
> lg
>
>
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | geograf |
Vielleicht hilft es, die Operatoren der jeweiligen Gruppen exakter hinzuschreiben.
Im Fall von G sei der Operator *, und bei H sei er [mm] \odot.
[/mm]
Also lautet der Beweis eigentlich so:
$ [mm] f(e_{G})=f(e_{G}\*{}e_{G})=f(e_{G})\odot{}f(e_{G}) \Rightarrow e_{H}=f(e_{G}). [/mm] $
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Hallo,
du hast [mm] f(e_{G})=f(e_{G})*f(e_{G}) [/mm] multipliziere jetzt beide seiten mit [mm] f(e_{G})^{-1} [/mm] dann bekommst du [mm] e_{H}=f(e_{G}) [/mm] da [mm] f(e_{G})\in [/mm] H und [mm] f^{-1}(e_{G})\in [/mm] H ansonsten wäre H nicht geschlossen und daher keine Gruppe.
LG
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