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Forum "Lineare Abbildungen" - Gruppenhomomorphismus
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:40 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Aufgabe
Sind (G, +, 0) und (H, * , 1) zwei Gruppen, so heißt eine Abbildung [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, falls gilt:

[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G: [mm] \phi [/mm] (a+b)= [mm] \phi [/mm] (a) * [mm] \phi [/mm] (b)

Zeige:
a) [mm] \phi [/mm] (0) = 1

b) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: [mm] \phi [/mm] ( a') = ( [mm] \phi [/mm] (a) )', wobei a' das Inverse von a bzw. ( [mm] \phi [/mm] (a) )' das Inverse von [mm] \phi [/mm] (a) bezeichne.

c) Zeige, dass die Menge [mm] \phi [/mm] (G) abgeschlossen unter * ist.

Ich komme überhaupt nicht weiter für Ansätze wäre ich sehr dankbar!

Ich habe meine Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
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Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:00 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Kann mir denn niemand helfen??? Es ist wirklich sehr dringend :(

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Do 02.12.2010
Autor: fred97

Zu a)

[mm] \phi(0)= \phi(0+0)= \phi(0) [/mm] * [mm] \phi(0) [/mm]

Auf diese Gleicung lass mal [mm] \phi(0)^{-1} [/mm]  los

Zu b)

       Breechne [mm] \phi(a+a') [/mm]  auf 2 Arten

FRED

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Bezug
Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Könntest du a)  bitte ein bisschen genauer erklären?

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Könntest du a) bitte ein bisschen genauer erklären?

... "Und danke für die Antwort" ...

Nun, 0 ist additiv neutral, also insbesondere [mm]0=0+0[/mm]

Damit [mm]\red{\varphi(0)}=\varphi(0+0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm], denn [mm]\varphi[/mm] ist Homomorphismus.

Nun ist [mm]\varphi(0)^{-1}[/mm] das bzgl. [mm]\star[/mm] Inverse zu [mm]\varphi(0)[/mm]

Du hast also die Gleichung:

[mm]\varphi(0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm]

Die verknüpfst du mit [mm]\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm], also

[mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm]

Nun?

Gruß

schachuzipus

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Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 Do 02.12.2010
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Könntest du a) bitte ein bisschen genauer erklären?
>
> ... "Und danke für die Antwort" ...
>  
> Nun, 0 ist additiv neutral, also insbesondere [mm]0=0+0[/mm]
>  
> Damit
> [mm]\red{\varphi(0)}=\varphi(0+0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm],
> denn [mm]\varphi[/mm] ist Homomorphismus.
>  
> Nun ist [mm]\varphi(0)^{-1}[/mm] das bzgl. [mm]\star[/mm] Inverse zu
> [mm]\varphi(0)[/mm]
>  
> Du hast also die Gleichung:
>  
> [mm]\varphi(0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm]
>  
> Die verknüpfst du mit [mm]\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm], also
>  
> [mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)}[/mm]


Hallo schachuzipus

Du meintest sicher

              [mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm]

FRED

>  
> Nun?
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus


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Bezug
Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Danke für deine antwort :))

ist das so richtig??

[mm] \phi [/mm] (0) ^(-1) = [mm] \phi [/mm] (0)^(-1)

Bezug
                                                
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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Do 02.12.2010
Autor: fred97


> Danke für deine antwort :))
>
> ist das so richtig??
>  
> [mm]\phi[/mm] (0) ^(-1) = [mm]\phi[/mm] (0)^(-1)

nein. Das ist so trivial wie Otto=Otto

FRED


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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Was mache ich jetzt??

Bezug
                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Do 02.12.2010
Autor: fred97


> Was mache ich jetzt??

Linke und rechte Seite von



        $ [mm] \varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}} [/mm] $

ausrechnen. Das wirst Du doch hinkriegen ?

FRED



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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Aber wenn ich das ausrechne, kommt doch das, was ich eben  geschrieben habe raus??

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Do 02.12.2010
Autor: fred97


> Aber wenn ich das ausrechne, kommt doch das, was ich eben  
> geschrieben habe raus??

Nein, zum Donnerwetter !

Wir haben:

             $ [mm] \varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}} [/mm] $

Wir setzen abkürzend: $a:= [mm] \varphi(0)$ [/mm]

Dann steht oben:

           $a [mm] \star a^{-1}= [/mm] (a [mm] \star [/mm] a [mm] )\star a^{-1}$ [/mm]

$a [mm] \star a^{-1}$ [/mm]  ergibt  was ?

Weiter ist $(a [mm] \star [/mm] a [mm] )\star a^{-1}= [/mm] a [mm] \star [/mm] (a [mm] \star a^{-1})$ [/mm]

Also ist $a [mm] \star [/mm] (a [mm] \star a^{-1}) [/mm]  = $   ???

FRED


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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

a*(a*a^(-1)) = (a*a)*a^(-1)

Bezug
                                                                                                
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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> a*(a*a^(-1)) = (a*a)*a^(-1)

Ja, das ist die Assoziativität der Verknüpfung, aber was ist die Frage?

Und vor allem, was hat das mit dem (Auf-)Lösen der letzten Geichung zu tun?

Ich verweise auf Freds Frage..

Antworte darauf in einem ganzen Satz, so dass wir verstehen, was du meinst!

Gruß

schachuzipus

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Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Ich kann das wirklich nicht, sonst würde ich es ja auch schreiben, aber ich versuche seit fast 24 stunden diese aufgabe zu lösen und komme keinen schritt weiter :( bin eben zu dumm für solche aufgaben :(

Bezug
                                                                                                                
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

kann mir das denn jemand "vorrechnen"? damit ich das endlich mal verstehe :(

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

das ist bereits geschehen in diesem thread!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ich kann das wirklich nicht, sonst würde ich es ja auch
> schreiben, aber ich versuche seit fast 24 stunden diese
> aufgabe zu lösen und komme keinen schritt weiter

Keinen Schritt?

Die a) ist dir fast bis zum Ende vorgemacht worden.

Wie kannst du das sagen???????????


Es fehlt ein Miniminiminimalschritt

> :( bin
> eben zu dumm für solche aufgaben :(

Das Problem ist eher, dass du nicht auf Rückfragen eingehst!

Sonst wäre schon alles fertig!

Fred hatte gefragt, was [mm]a\star a^{-1}[/mm] ergibt.

Wenn du dir und uns das mal klar machst und zu der letzten Gleichung

[mm]\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1}=\varphi(0)\star(\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1})[/mm] zurück gehst, dann ist es klar.

Also konkret: Was ergibt [mm]a\star a^{-1}[/mm] (bzw. dann übertragen hier: [mm]\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1}[/mm])

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                        
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

a^(-1) ?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> a^(-1) ?


du rätst wahl- und planlos rum.

Schaue im Skript oder deiner Vorlesungsmitschrift nach, was bei der Definition von Gruppen zu den Inversen steht.

Eine Gruppe [mm](G,\star)[/mm] hat (u.a.) ein (eindeutiges) neutr. Element [mm]e[/mm] (oder [mm]1[/mm])

Zu jedem Element [mm]a\in G[/mm] ex. ein inverses Element [mm]a^{-1}\in G[/mm] mit [mm]a\star a^{-1}=...[/mm] und auch [mm]a^{-1}\star a=...[/mm]

Und was da bei den Pünktchen hin muss, wollten wir von dir wissen ...

Mehr nicht!

Wenn du nicht weiß, was bei ... stehen muss, schaue nach.

Ich finde das sehr sehr bedenklich!


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Ich rate nicht...ich weiß nur nicht, was ihr von mir wollt. Außerdem hatten wir soetwas nicht in der vorlesung. Was kommt denn da jetzt raus?

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Ich rate nicht...ich weiß nur nicht, was ihr von mir
> wollt. Außerdem hatten wir soetwas nicht in der vorlesung.

Aha, Gruppen waren nicht dran, aber Gruppenhomomorphismen ...

Soso ...


> Was kommt denn da jetzt raus?

42, das ist die Lösung auf alle Fragen des Universums.

Ich gebe auf, vllt. hat jemand anderes noch Lust?

Trotzdem drücke ich die Daumen - nichts für ungut

Gruß

schachuzipus


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Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Do 02.12.2010
Autor: fred97

$ [mm] a\star a^{-1}=a^{-1}\star [/mm] a=1$  (= Einsel. der Gruppe H)

FRED

Bezug
                                                                                                                                                        
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

Mache ich das bei b) genau wie bei a)??

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Mache ich das bei b) genau wie bei a)??

Zumindest sehr sehr ähnlich.

Betrachte mal [mm]1=\varphi(0)=\varphi(a+a^{-1})[/mm]

Nun nutze aus, dass [mm]\varphi[/mm] ein Homomorphismus ist und behalte im Kopf, worauf du hinauswillst.

Dann siehst du schon die entscheidende Umformung

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

[mm] \phi [/mm] (a) * [mm] \phi(a)^{-1} [/mm] = 1 = [mm] \phi(a^{-1})*\phi(a) [/mm]

[mm] \phi(a^{-1})*\phi(a)=\phi(a^{-1}*a)=\phi(0)=1 [/mm]


Ist das so richtig??

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Do 02.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]\phi[/mm] (a) * [mm]\phi(a)^{-1}[/mm] = 1 = [mm]\phi(a^{-1})*\phi(a)[/mm]
>
> [mm]\phi(a^{-1})*\phi(a)=\phi(a^{-1}\red{+}a)=\phi(0)=1 [/mm]

Da muss natürlich [mm]\red{+}[/mm] stehen, du bist ja in G und dort wird additiv verknüpft.

>
>
> Ist das so richtig??

Ja, fast, du bist nun bei:

[mm]\varphi\left(a^{-1}\right)\star\varphi(a)=1[/mm]

Nun rechne [mm]\star\varphi(a)^{-1}[/mm] von rechts (auf beiden Seiten der Gleichung)

Gruß

schachuzipus


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Gruppenhomomorphismus: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:15 Do 02.12.2010
Autor: Bilmem

1=f(O) =f (a [mm] \circ a^{-1}) [/mm]  = f(A) [mm] \circ f(a^{-1} [/mm] )
[mm] \Rightarrow f(a^{-1}) [/mm] = [mm] f(A)^{-1} [/mm]

so? und, was haben die 113 10 zu bedeuten??

Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Sa 04.12.2010
Autor: matux

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