Gruppenoperationen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Also ich habe eine G-Menge M. [mm] G=GL_2, M=k^2 [/mm] x [mm] k^2, g*(m_1,m_2):= (gm_1, gm_2)
[/mm]
Man soll nun die Bahnen, ein Repräsentantensystem und die Isotropiegruppe finden.
Meine Überlegungen:
Isotropiegruppe: [mm] E_2
[/mm]
Bahn: [mm] (a,b)\in [/mm] M G(x,y) = { [mm] \summe_{k=1}^{2}a_{ik} x_k, \summe_{k=1}^{2}a_{ik} y_k [/mm] | [mm] A=(a_{ij}) \in [/mm] G }
Ich weiß nciht, wie man die Bahn besser aufschreiben kann. Und wie soll man ein Repräsentantensystem aufstellen, weil man braucht dazu ja je einen Vertreter aus einer Bahn?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 23.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Heureka89,
> Also ich habe eine G-Menge M. [mm]G=GL_2, M=k^2[/mm] x [mm]k^2, g*(m_1,m_2):= (gm_1, gm_2)[/mm]
>
> Man soll nun die Bahnen, ein Repräsentantensystem und die
> Isotropiegruppe finden.
>
> Meine Überlegungen:
>
> Isotropiegruppe: [mm]E_2[/mm]
Warum? Nehmen wir mal an, die Matrix [mm]A \in G[/mm] hätte Eigenwert 1; dann gilt doch für jedes Paar von Eigenvektoren [mm] (v_1, v_2)[/mm] zum Eigenwert 1 [mm] A * (v_1,v_2)=(A\cdot v_1, A \cdot v_2)=(v_1, v_2)[/mm].
>
> Bahn: [mm](a,b)\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M G(x,y) = { [mm]\summe_{k=1}^{2}a_{ik} x_k, \summe_{k=1}^{2}a_{ik} y_k[/mm]
> | [mm]A=(a_{ij}) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G }
> Ich weiß nciht, wie man die Bahn besser aufschreiben kann.
> Und wie soll man ein Repräsentantensystem aufstellen, weil
> man braucht dazu ja je einen Vertreter aus einer Bahn?
Wenn man dem Paar [mm](a,b) \in M[/mm] die Matrix [mm]\M_{a,b}\colon=begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}[/mm] zuordnet, wobei a die 1., b die 2. Zeile ist, dann ist [mm] a_{11}a +a_{12}b[/mm] die 1., [mm]a_{21}a +a_{22}b[/mm] die 2. Zeile des Matrizenprodukts [mm]A \cdot M_{a,b}, A=(a_ij)[/mm]. Wenn [mm]A \in G[/mm], dann ändert sich ja an der linearen (Un-)abhängigkeit der Zeilen von [mm]M_{a,b}[/mm] bzw. [mm] A \cdot M_{a,b}[/mm] nichts; also [mm] M_{a,b} \in G \gdw a,b \mbox{ sind linear unabhängig}[/mm].
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
