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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:12 Di 26.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, Grüße und vielen Dank für eure bisherige Hilfe
Habe hier eine Beweisaufgabe,bei der ich überhaupt keine idee habe, wie ich an den Beweis rangehen soll. Hat einer von euch eine Idee oder einen Tipp ?
Man beweise für endliche Halbgruppen (H, ) die Äquivalenz folgender Aussagen:
(I) (H, ) ist eine Gruppe.
(II) In jeder Zeile und Spalte der Strukturtafel von (H, ) kommt jedes Element
von H vor.
(III) In jeder Zeile oder Spalte der Strukturtafel von (H, ) kommen die Elemente
von H höchstens einmal vor.
Vielen Dank im Vorraus. Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 26.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Toyo!
Also wichtig ist, dass du, sollst du Äquivalenzen beweisen, immer beide Richtungen beweisen musst. Sollst du also zeigen, dass Aussage A und Aussage B äquivalent sind, musst du zeigen, dass sowohl A die Aussage B, also auch B die Aussage A impliziert, d.h. beide auseinander folgen.
An dem Beispiel (2) und (3) kann ich dir das zeigen:
Nehmen wir an, Aussage (2) ist korrekt, in jeder Zeile und Spalte kommen also alle Elemente der Gruppe H vor. Da eine Strukturtafel aber quadratisch ist, d.h. es genau so viele Zeilen wie Spalten gibt und jeder Spalten- bzw. Zeilenkopf für ein Element steht, folgt, dass es für jede Zeile genau so viele Spalten wie Elemente in H gibt (und umgekehrt). Da aber jedes Element in einer Spalte bzw. Zeile vorkommt, sind schon alle Felder belegt, da es nur genau so viele "freie Plätze" wie Anzahl an Elementen gab. Folglich taucht jedes Element genau ein Mal auf, insbesondere also höchstens einmal, was zu zeigen war. Damit wäre gezeigt, dass (2) die Aussage (3) impliziert.
Nun sei (3) korrekt, d.h. jedes Element kommt höchstens ein mal vor.Nehmen wir nun an, ein Element käme nicht vor. Dann müsste, da es so viele freie Plätze wie Elemente gibt, auf diesem Platz ein anderes Element liegen. Dieses Element taucht aber schon in den anderen Feldern auf, insgesamt also nun zwei Mal, was der Behauptung widerspricht, dass jedes Element höchstens ein Mal vorkommt. Somit kommt jedes Element genau ein Mal vor, insbesondere also sind alle Elemente in den Plätzen zu finden.
Damit ist bewiesen, dass (2) und (3) äquivalent sind. Das war jetzt ein wenig prosaisch, du kannst es ja auch nochmal formell versuchen.
Verzeihe mir im Übrigen die Formulierung "freie Plätze" - ich wusste mir nicht anders zu helfen 
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo Hanno u. alle Anderen, danke erstmal für Deine Antwort.
Ich hatte vor den Beweis so zu führen (1) => (2), (2) => (3), (3) => (1).
Ich habe aber das Problom wenn ich z.B. von (1) zu (2) kommen will, wie ich das formal mache, ich nehme die Gruppenaxiome und sage dann,
wenn (1) gilt, also wenn (H,*) ein Gruppe ist dann darf in Jeder Zeile u. in jeder Spalte kein Element 2mal vorkommen, da sonst zwei Elemente aus der Strukturtafel gleich wären.Da ich aber genauso viele Felder wie elemente in jeder Zeile u. Spalte habe muss also jedes Element in jeder Spalte u. jeder Zeile vorkommen.
Ist das so korrekt?
Und meine zweite Frage ist, wie kann ich das vormal besser aufschreiben das hier ist auch so prosaisch aber ich habe keine Idee, wie ich den Beweis von Gruppenaxiomen zur Strukturtafel formeller halten kann.
Könntest du mir da noch etwas behilflich sein?
Danke für deine Mühen, Gruß Toyo
[hab diesen Artikel korriegiert]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
(2) und (3) sind offenbar äquivalent, das ist -wie von dir selber gesagt- nur ein Abzählbarkeitsargument (wenn ein Element in einer Zeile/Spalte nicht vorkommt, muss ein anderes doppelt vorkommen und umgekehrt)
Nun zum Rest: Es gelte (1), d.h. $(H, [mm] \*)$ [/mm] sei eine Gruppe.
Würde dann (3) nicht gelten, so gäbe es [mm] $g,g_1,g_2 \in [/mm] H$ mit [mm] $g_1 \ne g_2$, [/mm] so dass
$g [mm] \* g_1 [/mm] = g [mm] \* g_2$
[/mm]
oder
[mm] $g_1 \* [/mm] g = [mm] g_2 \* [/mm] g$
wahr wäre.
Wie kann man beides zum Widerspruch führen? Hast du eine Idee?
(Die dann noch fehlende Folgerung machen wir dann später noch.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 31.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Stefan, danke für deine Erklärung,
aber irgendwie verstehe ich nicht so ganz worauf du hinaus willst:
also angenommen es gäbe [mm] g, g_1 , g_2 [/mm] mit [mm] g_1 \not= g_2 [/mm] so dass [mm] g * g_1 = g * g_2 oder g_1 * g = g_2 * g [/mm] dann wäre ja [mm] g \not= g [/mm] der Widerspruch?! Meinst du dass? Oder steh ich total aufem Schlauch?
Bitte um Aufklärung 
Dank Dir! Gruß Toyo
PS: Es gibt noch ein Problem, das ich mit diesem Beweis habe und zwar wie ich von (III) auf (I) komme. Die Eindeutigkeit eines inversen Elementes zu einnem jeden Elemen kann ich ja wieder mit der Abzählbarkeit zeigen, aber wie zeige ich in diese Richtung die Eindeutigkeit des neutralen Elementes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
> also angenommen es gäbe [mm]g, g_1 , g_2[/mm] mit [mm]g_1 \not= g_2[/mm] so
> dass [mm]g * g_1 = g * g_2[/mm] oder [mm]g_1 * g = g_2 * g[/mm] dann wäre ja
> [mm]g \not= g[/mm] der Widerspruch?!
Nein.
Aus
$g [mm] \* g_1 [/mm] = g [mm] \* g_2$
[/mm]
folgt durch Mutliplikation von [mm] $g^{-1}$ [/mm] von links:
[mm] $g_1= (g^{-1} \* [/mm] g) [mm] \* g_1 [/mm] = [mm] g^{-1} \* [/mm] (g [mm] \* g_1) [/mm] = [mm] g^{-1} \* [/mm] (g [mm] \* g_2)= (g^{-1} \* [/mm] g) [mm] \* g_2 [/mm] = [mm] g_2$,
[/mm]
im Widerspruch zu [mm] $g_1 \ne g_2$.
[/mm]
Analog kannst du das für
[mm] $g_1 \* [/mm] g = [mm] g_2 \* [/mm] g$
durch Multiplikation von [mm] $g^{-1}$ [/mm] von rechts durchführen.
> PS: Es gibt noch ein Problem, das ich mit diesem Beweis
> habe und zwar wie ich von (III) auf (I) komme. Die
> Eindeutigkeit eines inversen Elementes zu einnem jeden
> Elemen kann ich ja wieder mit der Abzählbarkeit zeigen,
> aber wie zeige ich in diese Richtung die Eindeutigkeit des
> neutralen Elementes?
Also (II) und (III) sind ja offenbar äquivalent und können zusammengefasst werden zu der Aussage:
In jeder Zeile/Spalte der Gruppentafel von $H$ kommt jedes Element von $H$ genau einmal vor.
Insbesondere kommt für ein beliebiges $h [mm] \in [/mm] H$ in der entsprechenden Zeile /Spalte, wo alle Elemente von $H$ mit $h$ (von links bzw. rechts) multipliziert werden, auch $e$ und $h$ vor...
Jetzt solltest du aber eine Idee bekommen, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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