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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass jede Gruppe gerader Ordnung ein Element der Ordnung 2 enthällt.
(ii) Wie viele Gruppen der Ordnung 6 und 7 gibt es bis auf Isomorphie? |
Guten Abend zusammen,
zur (i) hab ich keine richtige Idee. Soentwas wie "$-1$" ist ja leider bei einer Gruppe allein nicht definiert, dafür bräuchte ich einen Körper.
Was ich weiß ist, dass $|G|=2*n$ für eine Gruppe $G$. Zuletzt hatten wir den Hauptsatz der Galoistheorie. Aber ich weiß nicht so recht ob und wenn wie ich den anwenden sollte.
Ich weiß dadurch, dass ich anstatt endlicher Gruppen auch Körper und deren Galoiserweiterungen betrachten kann. Aber wie komm ich da weiter?
Zur (ii):
Unser Übungsleiter meinte wir sollen einfach zählen. Ich denke ich verzähle mich dabei.
Bei einer Gruppe der Ordnung 6 sind ja (wenn ich eine Gruppentafel nehme) 11 Felder vorgeschrieben, die wo jeweils das Neutrale Element mitspielt. Also bleiben 25 Felder "übrig". Dann habe ich in der ersten Zeile noch genau 5! Möglichkeiten die fehlenden 5 Elemente aufzuteilen. Dann bleibt in der nächsten Zeile ja nur noch 4! Möglichkeiten (sonst gäbs widersprüche)... und so weiter. Ich komme da auf 5!*4!*3!*2! Möglichkeiten, dass sind aber offensichtlich viel zu viele! Bei Gruppen der Ordnung 4 gibt es ja nur 2 (denke ich), die "intuitive" und die Kleinsche Vierergruppe.
Was mache ich denn falsch?
Vielen Dank im voraus!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Zu (i): Ein Element der Ordnung zwei ist einfach eines welches zu sich selbst invers ist (mache dir das klar!). Jetzt kannst du ja die Menge G so hinschreiben: [mm]G = \{ e, a_1, a_1^{-1}, a_2, a_2^{-1}, \ldots \}[/mm]. Jetzt musst du nur zeigen, dass es ein [mm] a_n [/mm] gibt mit [mm]a_n = a_n^{-1}[/mm].
Zu (ii): Benutze den Satz von Lagrange (die Ordnung eines Elementes teilt die Gruppenordnung).
LG, Alex
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Vielen Dank erstmal, bei der (i) weiß ich jetzt was zu tun ist.
Aber zu der (ii) weiß ich zwar nach Lagrange dass z.B. die Elemente einer Gruppe mit 6 Elementen nur Ordnung 1, 2, 3 und 6 haben können, aber wie komme ich dadurch auf die Anzahl an Gruppen insgesammt?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 So 03.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Aber zu der (ii) weiß ich zwar nach Lagrange dass z.B. die
> Elemente einer Gruppe mit 6 Elementen nur Ordnung 1, 2, 3
> und 6 haben können, aber wie komme ich dadurch auf die
> Anzahl an Gruppen insgesammt?
Indem du alle möglichen Gruppen hinschreibst.
Mache eine Fallunterscheidung:
Fall 1, es gebe ein Element der Ordnung 6. Dann ist diese Gruppe isomorph zu [mm] \IZ_6.
[/mm]
Fall 2, es gebe ein Element der Ordnung 3. Dann ...
LG, Alex
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> > Aber zu der (ii) weiß ich zwar nach Lagrange dass z.B. die
> > Elemente einer Gruppe mit 6 Elementen nur Ordnung 1, 2, 3
> > und 6 haben können, aber wie komme ich dadurch auf die
> > Anzahl an Gruppen insgesammt?
>
> Indem du alle möglichen Gruppen hinschreibst.
>
> Mache eine Fallunterscheidung:
> Fall 1, es gebe ein Element der Ordnung 6. Dann ist diese
> Gruppe isomorph zu [mm]\IZ_6.[/mm]
> Fall 2, es gebe ein Element der Ordnung 3. Dann ...
>
... gibt es entweder 3 Elemente der Ordnung 2 oder noch ein Element der Ordnung 3 und ein Element der Ordnung 2.
Fall 3, es gebe ein Element der Ordnung 2, dann ist das schon in Fall 2 erfasst.
Fall 4, es gibt immer das neutrale Element der Ordnung 1, also auch schon früher erfasst.
Also gibt es 3 verschiedene Gruppen. Meines Wissens dürfte es aber nur 2 geben...
Was mache ich denn falsch?
> LG, Alex
lg Kai
Ps.: Ich hab doch noch eine Frage zum ersten Teil:
Wie schließe ich denn dann den Fall aus, dass ich neben $e$ und Elementen [mm] $g_i, g_1^{-1}$ [/mm] Elemente ungerader Ordnun habe, und somit kein Element übrig bliebe mit Ordnung 2?
Vielen Dank für deine Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 03.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> > > Aber zu der (ii) weiß ich zwar nach Lagrange dass z.B. die
> > > Elemente einer Gruppe mit 6 Elementen nur Ordnung 1, 2, 3
> > > und 6 haben können, aber wie komme ich dadurch auf die
> > > Anzahl an Gruppen insgesammt?
> >
> > Indem du alle möglichen Gruppen hinschreibst.
> >
> > Mache eine Fallunterscheidung:
> > Fall 1, es gebe ein Element der Ordnung 6. Dann ist diese
> > Gruppe isomorph zu [mm]\IZ_6.[/mm]
Ist dir das klar?
> > Fall 2, es gebe ein Element der Ordnung 3. Dann ...
> >
> ... gibt es entweder 3 Elemente der Ordnung 2 oder noch ein
> Element der Ordnung 3 und ein Element der Ordnung 2.
Das musst du systematischer machen, sonst wird es kein sauberer Beweis.
edit: Hier stand Schmarn.
> Ps.: Ich hab doch noch eine Frage zum ersten Teil:
>
> Wie schließe ich denn dann den Fall aus, dass ich neben [mm]e[/mm]
> und Elementen [mm]g_i, g_i^{-1}[/mm] Elemente ungerader Ordnung habe,
> und somit kein Element übrig bliebe mit Ordnung 2?
Bei der Aufzählung der Elemente von G, welche ich oben geschrieben habe, gehen die Ordnungen der einzelnen Elemente gar nicht ein in die Betrachtung. Ich "bilde Pärchen", indem ich jedem Element sein inverses zuordne.
LG, Alex
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> > > > Aber zu der (ii) weiß ich zwar nach Lagrange dass z.B. die
> > > > Elemente einer Gruppe mit 6 Elementen nur Ordnung 1, 2, 3
> > > > und 6 haben können, aber wie komme ich dadurch auf die
> > > > Anzahl an Gruppen insgesammt?
> > >
> > > Indem du alle möglichen Gruppen hinschreibst.
> > >
> > > Mache eine Fallunterscheidung:
> > > Fall 1, es gebe ein Element der Ordnung 6. Dann ist
> diese
> > > Gruppe isomorph zu [mm]\IZ_6.[/mm]
>
> Ist dir das klar?
>
Na ich weiß dadurch dass ich ein Element finde das die Gruppe erzeugt, also $G= < g >$ für dieses Element g der Ordnung 6. Also ist [mm] $G\cong \IZ_6$ [/mm] (erzeugt von 1).
Oder meinst du etwas anderes?
> > > Fall 2, es gebe ein Element der Ordnung 3. Dann ...
> > >
> > ... gibt es entweder 3 Elemente der Ordnung 2 oder noch ein
> > Element der Ordnung 3 und ein Element der Ordnung 2.
>
> Das musst du systematischer machen, sonst wird es kein
> sauberer Beweis.
Das verstehe ich nicht... Was meinst du mit symmetrischer?
>
> Ausserdem ist es falsch.
>
> Es kann z.B. keine 3 verschiedene Elemente der Ordnung 2
> geben, denn damit hättest du 7 Elemente in der Gruppe (da
> du ja noch das neutrale Element brauchst).
>
Angenommen $a$ sei das Element 3. Ordnung, und $b, c, d$ die Elemente 2. Ordnung.
Dann ist doch $|G|=| [mm] \{ a, a^2, a^3=e, b, b^2=e, c, c^2=e, d, d^2=e \}|=|\{ e, a, a^2, b, c, d \}|=6$
[/mm]
Oder mach ich da was falsch?
> Genauso die zweite Sache. Zwei Elemente der Ordnung 3 und
> eins der Ordnung 2 ergibt insgesamt 9 Elemente in der
> Gruppe.
>
> > Ps.: Ich hab doch noch eine Frage zum ersten Teil:
> >
> > Wie schließe ich denn dann den Fall aus, dass ich neben [mm]e[/mm]
> > und Elementen [mm]g_i, g_i^{-1}[/mm] Elemente ungerader Ordnung
> habe,
> > und somit kein Element übrig bliebe mit Ordnung 2?
>
> Bei der Aufzählung der Elemente von G, welche ich oben
> geschrieben habe, gehen die Ordnungen der einzelnen
> Elemente gar nicht ein in die Betrachtung. Ich "bilde
> Pärchen", indem ich jedem Element sein inverses zuordne.
>
> LG, Alex
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 So 03.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> > > > Fall 2, es gebe ein Element der Ordnung 3. Dann ...
> > > >
> > > ... gibt es entweder 3 Elemente der Ordnung 2 oder noch ein
> > > Element der Ordnung 3 und ein Element der Ordnung 2.
> >
> > Das musst du systematischer machen, sonst wird es kein
> > sauberer Beweis.
>
> Das verstehe ich nicht... Was meinst du mit symmetrischer?
>
Systematischer, nicht symmetrischer. ^^
Das meinte ich so: Du hast ein Element der Ordnung 3. Nennen wir das a. Dann haben wir schon mal in unserer Gruppe die Elemente e, a und [mm] a^2. [/mm] Dann gibt es noch ein anderes Element b. Nun wieder Fallunterscheidung: Es hat Ordnung 2 oder 3. Und so weiter... sowas meinte ich.
> > Es kann z.B. keine 3 verschiedene Elemente der Ordnung 2
> > geben, denn damit hättest du 7 Elemente in der Gruppe (da
> > du ja noch das neutrale Element brauchst).
> >
>
> Angenommen [mm]a[/mm] sei das Element 3. Ordnung, und [mm]b, c, d[/mm] die
> Elemente 2. Ordnung.
>
> Dann ist doch [mm]|G|=| \{ a, a^2, a^3=e, b, b^2=e, c, c^2=e, d, d^2=e \}|=|\{ e, a, a^2, b, c, d \}|=6[/mm]
>
> Oder mach ich da was falsch?
Nein nein, hast recht. Ich habe in meiner vorherigen Antwort irgendwie totalen Quark geschrieben.
Jetzt musst du z.B. noch schauen, ob es so eine Gruppe [mm] \{e,a,a^2,b,c,d\} [/mm] überhaupt geben kann, d.h. du musst schauen, ob man passende Verknüpfungen definieren kann (also was ist z.B. b*c?).
LG, Alex
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Erstmal vielen Dank für deine Mühe, bin echt schon weitergekommen.
> Jetzt musst du z.B. noch schauen, ob es so eine Gruppe
> [mm]\{e,a,a^2,b,c,d\}[/mm] überhaupt geben kann, d.h. du musst
> schauen, ob man passende Verknüpfungen definieren kann
> (also was ist z.B. b*c?).
>
Muss ich dass für alle möglichen Kombinationen zeigen? Sieht mir ein wenig umständlich aus... Gibt es einen "schöneren" Weg?
> LG, Alex
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 03.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Erstmal vielen Dank für deine Mühe, bin echt schon
> weitergekommen.
>
> > Jetzt musst du z.B. noch schauen, ob es so eine Gruppe
> > [mm]\{e,a,a^2,b,c,d\}[/mm] überhaupt geben kann, d.h. du musst
> > schauen, ob man passende Verknüpfungen definieren kann
> > (also was ist z.B. b*c?).
> >
>
> Muss ich dass für alle möglichen Kombinationen zeigen?
> Sieht mir ein wenig umständlich aus... Gibt es einen
> "schöneren" Weg?
Ja also hier kommt jetzt das zum Tragen, was ich vorher mit "systematischer" meinte.
Du fängst an, indem du sagst, dass du ein Element a der Ordnung 3 hast. Dann hast du schon mal [mm] \{e,a,a^2\}. [/mm] Dann nimmst du dir ein anderes Element b der Gruppe und machst zuerst den Fall, dass b Ordnung 2 hat. Damit hast du [mm] \{e,a,a^2,b\}. [/mm] Jetzt schaust du einfach was a*b sein kann. Es kommt raus, dass a*b verschieden sein muss von e, a, [mm] a^2 [/mm] und b, d.h. du hast dann schon mal [mm] \{e,a,a^2,b,ab\}. [/mm] Jetzt ist nur noch die Frage welches das letzte Element ist. Die Gruppe könnte z.B. nicht kommutativ sein, dann hätten wir ab != ba. Ist sie aber kommutativ, so haben wir a^2b als letztes Element.
LG, Alex
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> > Erstmal vielen Dank für deine Mühe, bin echt schon
> > weitergekommen.
> >
> > > Jetzt musst du z.B. noch schauen, ob es so eine Gruppe
> > > [mm]\{e,a,a^2,b,c,d\}[/mm] überhaupt geben kann, d.h. du musst
> > > schauen, ob man passende Verknüpfungen definieren kann
> > > (also was ist z.B. b*c?).
> > >
> >
> > Muss ich dass für alle möglichen Kombinationen zeigen?
> > Sieht mir ein wenig umständlich aus... Gibt es einen
> > "schöneren" Weg?
>
> Ja also hier kommt jetzt das zum Tragen, was ich vorher mit
> "systematischer" meinte.
>
> Du fängst an, indem du sagst, dass du ein Element a der
> Ordnung 3 hast. Dann hast du schon mal [mm]\{e,a,a^2\}.[/mm] Dann
> nimmst du dir ein anderes Element b der Gruppe und machst
> zuerst den Fall, dass b Ordnung 2 hat. Damit hast du
> [mm]\{e,a,a^2,b\}.[/mm] Jetzt schaust du einfach was a*b sein kann.
> Es kommt raus, dass a*b verschieden sein muss von e, a, [mm]a^2[/mm]
> und b, d.h. du hast dann schon mal [mm]\{e,a,a^2,b,ab\}.[/mm] Jetzt
> ist nur noch die Frage welches das letzte Element ist. Die
> Gruppe könnte z.B. nicht kommutativ sein, dann hätten wir
> ab != ba. Ist sie aber kommutativ, so haben wir a^2b als
> letztes Element.
>
[mm] $a^2*b$ [/mm] muss dann ja auch enthalten sein. Also geht nur der Fall ein Element 3. odernung und eines 2. ordnung oder eben ein Element der Ornung 6?
> LG, Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> > > Erstmal vielen Dank für deine Mühe, bin echt schon
> > > weitergekommen.
> > >
> > > > Jetzt musst du z.B. noch schauen, ob es so eine Gruppe
> > > > [mm]\{e,a,a^2,b,c,d\}[/mm] überhaupt geben kann, d.h. du musst
> > > > schauen, ob man passende Verknüpfungen definieren kann
> > > > (also was ist z.B. b*c?).
> > > >
> > >
> > > Muss ich dass für alle möglichen Kombinationen zeigen?
> > > Sieht mir ein wenig umständlich aus... Gibt es einen
> > > "schöneren" Weg?
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> > Ja also hier kommt jetzt das zum Tragen, was ich vorher mit
> > "systematischer" meinte.
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> > Du fängst an, indem du sagst, dass du ein Element a der
> > Ordnung 3 hast. Dann hast du schon mal [mm]\{e,a,a^2\}.[/mm] Dann
> > nimmst du dir ein anderes Element b der Gruppe und machst
> > zuerst den Fall, dass b Ordnung 2 hat. Damit hast du
> > [mm]\{e,a,a^2,b\}.[/mm] Jetzt schaust du einfach was a*b sein kann.
> > Es kommt raus, dass a*b verschieden sein muss von e, a, [mm]a^2[/mm]
> > und b, d.h. du hast dann schon mal [mm]\{e,a,a^2,b,ab\}.[/mm] Jetzt
> > ist nur noch die Frage welches das letzte Element ist. Die
> > Gruppe könnte z.B. nicht kommutativ sein, dann hätten wir
> > ab != ba. Ist sie aber kommutativ, so haben wir a^2b als
> > letztes Element.
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>
> [mm]a^2*b[/mm] muss dann ja auch enthalten sein. Also geht nur der
> Fall ein Element 3. odernung und eines 2. ordnung oder eben
> ein Element der Ornung 6?
Wenn du die Gruppe [mm] \{e,a,a^2,b,ab,ba\} [/mm] hast, dann ist [mm] a^2*b [/mm] natürlich auch enthalten. Es ist dann nur gleich irgendeinem anderen Element (nämlich ba).
LG, Alex
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