Gruppentheorie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | G sei eine Gruppe und a und b Elemente von G endlicher Ordnung. Zeigen Sie, dass gilt:
a) Die Ordnung [mm] $aba^{-1}$ [/mm] ist gleich der Ordnung von b.
b) Die Ordnung ab ist gleich der Ordnung von ba
c) Die Ordnung [mm] $a^{-1}$ [/mm] ist gleich der Ordnung von a. |
Hallo Mathefreunde,
bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was der Begriff "Ordnung" bei a)-c) zu bedeuten hat. Eine Ordnung ist schließlich die Anzahl der Elemente, die eine Gruppe beinhaltet. [mm] $aba^{-1}$ [/mm] = b laut Gruppentafel. Aber {b} ist keine Gruppe. Oder sollen die Verknüpfungen einfach über die Gruppentafel gelöst werden?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Sometree,
danke für deine Antwort. Wir hatten diese Definition schon mal. Aber dort waren die Elemente Matrizen. Ich wusste nicht, ob ich das für belibige Elemente verwenden darf.
Nun zu meiner Rechnung:
b=b, bb=a, bbb=ab=e [mm] $\Rightarrow$ [/mm] <b>=3
[mm] $aba^{-1}$=$aba^{-1}$, ($aba^{-1}$)($aba^{-1}$)=$aba^{-1}aba^{-1}$=$abba^{-1}$=$aaa^{-1}$=a, ($aba^{-1}$)($aba^{-1}$)($aba^{-1}$)= $aaba^{-1}$=$bba^{-1}$=$aa^{-1}$=e $\Rightarrow$ <$aba^{-1}$>=3
[/mm]
Ist alles soweit richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mo 15.04.2013 | | Autor: | sometree |
Ich habe keinerlei Ahnung was du hier treibst.
Wieso soll denn [mm] $b^2=a$ [/mm] gelten?
$<b>$ ist eine Gruppe, insbesondere eine Menge die das neutrale Element enthält.
3 enthält kein neutrales Element. Ob es eine Menge ist, darüber darfst du dich mit den Logikern streiten.
Laut deiner eigenen Angabe ist G irgendeine Gruppe.
Oder ist an der Angabe irgendwas falsch oder fehlend?
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Hallo Sometree,
ich habe einfach eine Gruppentafel konzipiert. Es gibt nämlich nur eine Gruppenkonstellation zu e, a, b [mm] $\in$ [/mm] G.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> Hallo Sometree,
>
> danke für deine Antwort. Wir hatten diese Definition schon
> mal. Aber dort waren die Elemente Matrizen. Ich wusste
> nicht, ob ich das für belibige Elemente verwenden darf.
>
> Nun zu meiner Rechnung:
>
> b=b, bb=a, bbb=ab=e [mm]\Rightarrow[/mm] <b>=3
>
> [mm]aba^{-1}[/mm]=[mm]aba^{-1}[/mm],
> ([mm]aba^{-1}[/mm])([mm]aba^{-1}[/mm])=[mm]aba^{-1}aba^{-1}[/mm]=[mm]abba^{-1}[/mm]=[mm]aaa^{-1}[/mm]=a,
> ([mm]aba^{-1}[/mm])([mm]aba^{-1}[/mm])([mm]aba^{-1}[/mm])=
> [mm]aaba%5E%7B-1%7D[/mm]=[mm]bba^{-1}[/mm]=[mm]aa^{-1}[/mm]=e [mm]\Rightarrow[/mm] <[mm]aba%5E%7B-1%7D[/mm]>=3
>
> Ist alles soweit richtig?
Nein nein nein!
Nimm an, dass [mm]\operatorname{ord}(b)=m[/mm] ist, dass also [mm]b^m=e_G[/mm] ist. (und m die kleinste nat. Zahl, so dass Voranstehendes gilt)
Dann musst du zeigen, dass gefälligst auch [mm]\operatorname{ord}\left(aba^{-1}\right)=m[/mm] ist.
Dazu kannst du ganz leicht nachrechnen, dass [mm]\left(aba^{-1}\right)^m=e_G[/mm] gilt (denke daran, dass in Gruppen die Verknüpfung assozativ ist)
Dann überlege kurz, wieso das m auch die kleinste nat. Zahl ist, die es tut ...
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
danke, dass du mich auf meinen Fehler aufmerksam gemacht hast.
[mm] $(aba^{-1})^m=b^m$
[/mm]
Kann ich dann auch folgendes schreiben?
[mm] $a^m b^m (a^{-1})^m=b^m \iff ((b^{-1})^m)(a^m b^m (a^{-1})^m)=e$
[/mm]
Wie muss ich jetzt klammern? Oder kann ich auch von rechts "multiplizieren"?
Vielen Dank schon mal für deine/eure Hilfe im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
>
> danke, dass du mich auf meinen Fehler aufmerksam gemacht
> hast.
>
> [mm](aba^{-1})^m=b^m[/mm]
>
> Kann ich dann auch folgendes schreiben?
>
> [mm]a^m b^m (a^{-1})^m=b^m \iff ((b^{-1})^m)(a^m b^m (a^{-1})^m)=e[/mm]
Wieso so kompliziert??
Ich habe doch geschrieben, was zu zeigen ist!
Zeige [mm] $(aba^{-1})^m=e$
[/mm]
Dazu:
[mm](aba^{-1})^m=(aba^{-1})(aba^{-1})...(aba^{-1})[/mm] m-mal
[mm]=ab(a^{-1}a)b(a^{-1}a)b...ba^{-1}[/mm] wegen der Assoziativität
Nun steht da ganz oft innen [mm]a^{-1}a[/mm], was [mm]=e[/mm] ist.
Was bleibt und warum ist das, was bleibt dann [mm]=e[/mm] ?
>
> Wie muss ich jetzt klammern? Oder kann ich auch von rechts
> "multiplizieren"?
Du liest die Antworten nicht aufmerksam!
>
> Vielen Dank schon mal für deine/eure Hilfe im Voraus.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
ich lese schon aufmerksam deine Zeilen, aber ich hätte die Assoziativität anders eingesetzt.
Deinen Schritt
[mm] $(aba^{-1})^m=ab(a^{-1}a)b...ba^{-1}=ab^m a^{-1}$
[/mm]
habe ich verstanden.
> Was bleibt und warum ist das, was bleibt dann [mm]=e[/mm] ?
Deine Frage verstehe ich nicht, sorry.
Liebe Grüße
Christoph
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Mir ist gerade ein Einfall gekommen. $a [mm] b^m a^{-1}=e$, [/mm] weil [mm] $b^m=e$ [/mm] ist. Ok dann hätte ich es kapiert.^^ PS.: Bitte um Bestätigung.
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Hallo nochmal,
> Mir ist gerade ein Einfall gekommen. [mm]a b^m a^{-1}=e[/mm], weil
> [mm]b^m=e[/mm] ist. Ok dann hätte ich es kapiert.^^ PS.: Bitte um
> Bestätigung.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Fehlt noch eine kurze Begründung, wieso [mm] $aba^{-1}$ [/mm] keine kleinere Ordung haben kann - siehe Antwort zur Frage hiervor
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
>
> ich lese schon aufmerksam deine Zeilen, aber ich hätte die
> Assoziativität anders eingesetzt.
>
> Deinen Schritt
>
> [mm](aba^{-1})^m=ab(a^{-1}a)b...ba^{-1}=ab^m a^{-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> habe ich verstanden.
Genauso war das gemeint!
>
>
> > Was bleibt und warum ist das, was bleibt dann [mm]=e[/mm] ?
>
> Deine Frage verstehe ich nicht, sorry.
Wieso nicht? Wir hatten doch vorausgesetzt, dass [mm]\operatorname{ord}(b)=m[/mm], also [mm]b^m=e[/mm]
Damit [mm]ab^ma^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e[/mm]
Wunderbar!
Wieso muss [mm]m[/mm] die kleinste nat. Zahl sein, die [mm](aba^{-1})^m=e[/mm] erfüllt?
Nimm an, es gäbe eine kleinere Zahl [mm]n
Das gibt einen Widerspruch! Wozu?
Damit hast du dann [mm]\operatorname{ord}(aba^{-1})=m[/mm]
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
Zurück!
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
also wenn n<m wäre würde daraus folgen, dass [mm] $b^n\neq [/mm] e$. Reicht das als Begründung?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> also wenn n<m wäre würde daraus folgen, dass [mm]b^n\neq e[/mm].
Wieso?
> Reicht das als Begründung?
Das ist zu ungenau! Wieso folgt [mm]b^n\neq e[/mm] ?
Es ist doch [mm](aba^{-1})^n=ab^na^^{-1}[/mm]
Wenn das [mm]=e[/mm] wäre, kannst du die Gleichung [mm]aba^{-1}=e[/mm] nach b (bzw. [mm]b^n[/mm]) umstellen und bekommst was? Und welchen Widerspruch?
Rechnerisch!!
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
folgende Überlegungen habe ich mir gemacht:
Annahme n<m und [mm] $ord(aba^{-1})=ord(b)$
[/mm]
[mm] $b^n=e$ [/mm] und [mm] $(aba^{-1})^n=a b^n a^{-1}=e$ [/mm]
Das ist aber unmöglich da es nach Gruppenaxiomatik nur ein neutrales Element gibt.
Ist die Argumentation so richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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> Hallo Schachuzipus,
>
> folgende Überlegungen habe ich mir gemacht:
>
> Annahme n<m und [mm]ord(aba^{-1})=ord(b)[/mm]
Das Letzte ist nicht zufällig das was du hier eigentlich zeigen willst?
Oder was genau willst du eigentlich zeigen?
>
> [mm]b^n=e[/mm] und [mm](aba^{-1})^n=a b^n a^{-1}=e[/mm]
>
> Das ist aber unmöglich da es nach Gruppenaxiomatik nur ein
> neutrales Element gibt.
Wo siehst du hier zwei verschiedene (!) neutrale Elemente? Ich seh hier nur eines: e
Es ist ja auch -1 kein multiplikativ neutrales Element in den rationalen Zahlen nur weil [mm] $(-1)^2=1$.
[/mm]
> Ist die Argumentation so richtig?
Nein.
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo sometree,
warum ich zwei neutrale Elemente festgestellt habe, liegt daran, dass ich für m bereits geseagt hatte [mm] $ord(aba^{-1})=m \iff (aba^{-1})^m=e \wedge [/mm] ord(b)=m [mm] \iff b^m=e$. [/mm] Nun soll dass auch für eine n-te Potenz n<m gelten. Das würde aber heißen es gäbe mindestens zwei neutrale Elemente.
Ansonsten wüsste ich keinen Ansatz mehr. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> Hallo sometree,
>
> warum ich zwei neutrale Elemente festgestellt habe, liegt
> daran, dass ich für m bereits geseagt hatte
> [mm]ord(aba^{-1})=m \iff (aba^{-1})^m=e \wedge ord(b)=m \iff b^m=e[/mm].
> Nun soll dass auch für eine n-te Potenz n<m gelten. Das
> würde aber heißen es gäbe mindestens zwei neutrale
> Elemente.
Das neutrale Element ist immer eindeutig, das ist hier nicht der Widerspruch, den wir wollen.
Wir hatten wegen [mm]\operatorname{ord}(b)=m[/mm], dass [mm]m[/mm] die kleinste nat. Zahl ist mit [mm]b^m=e[/mm]
Nun hatten wir gezeigt, dass auch [mm](aba^{-1})^m=e[/mm] ist und wollen begründen, warum auch dieses [mm]m[/mm] mininal ist.
Wenn [mm]n
[mm](aba^{-1})^n=\underbrace{...=ab^na^{-1}}_{\text{Umformung wie oben}}=e[/mm]
Und [mm]ab^na^{-1}=e[/mm] kann man zunächst von links mit [mm]a^{-1}[/mm] verknüpfen, dann von rechts mit a
[mm]\Rightarrow b^n=a^{-1}ea=e[/mm]
Also [mm]b^n=e[/mm] mit [mm]n
>
> Ansonsten wüsste ich keinen Ansatz mehr. Kannst du mir
> vielleicht noch einen Tipp geben?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank an euch. Ich glaube ich habe es verstanden. Ich werde die anderen Aufgaben als Frage hier reinstellen. Es wäre nett, wenn ihr noch ein kontrollierendes Auge darauf werfen könntet.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Leute,
im Folgenden habe ich b) und c) berechnet.
b)
ord(ab)=m
[mm] $\Rightarrow ab^m=e [/mm]
[mm] \iff \underbrace{(ab)(ab)...(ab)}_{m-mal}=e
[/mm]
[mm] \iff [/mm] a(ba)b...(ab)=e
[mm] (ba)^m=e \Rightarrow a^mb^m=(ab)^m=e$
[/mm]
Z. z. m ist minimal
Sei n<m als minimal angenommen.
$ [mm] a(ba)b...(ab)=a^n(ba)^nb^n=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow (ba)^n=e$ [/mm] Widerspruch zu [mm] $(ba)^m=e$
[/mm]
c)
[mm] $ord(a^{-1})=m)
[/mm]
[mm] \iff (a^{-1})^m=e
[/mm]
[mm] \iff (a^m)^{-1}=e
[/mm]
[mm] \iff a^m=e$
[/mm]
Sei n<m als minimal angenommen.
[mm] $(a^{-1})^n=e [/mm]
[mm] \iff (a^n)^{-1}=e$ [/mm] Widerspruch zu [mm] §a^n=e$
[/mm]
Es wäre nett, wenn ihr nochmal darüber schaut.
Liebe Grüße
Christoph
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> Hallo Leute,
>
> im Folgenden habe ich b) und c) berechnet.
>
> b)
>
> ord(ab)=m
> [mm]$\Rightarrow ab^m=e[/mm]
> [mm]\iff \underbrace{(ab)(ab)...(ab)}_{m-mal}=e[/mm]
> [mm]\iff[/mm]
> a(ba)b...(ab)=e
Was soll diese Klammerung aussagen?
> [mm](ba)^m=e \Rightarrow a^mb^m=(ab)^m=e$[/mm]
Das ist eine beliebige Gruppe, keine kommutative. Im Allgemeinen ist [mm] $ab\neq [/mm] ba$ also auch [mm] $a^mb^m \neq (ab)^m$
[/mm]
> Z. z. m ist minimal
bzgl. welcher Eigenschaft?
> Sei n<m als minimal angenommen.
Wie soll bitte eine Ungleichung minimal sein?
Dieser Satz ergibt keinerlei Sinn.
> $ [mm]a(ba)b...(ab)=a^n(ba)^nb^n=e[/mm]
Wiederrum: Was steht eigentlich ganz links, wo kommt [mm] $a^n$ [/mm] bzw [mm] $b^n$ [/mm] her?
Und warum kommt hier e raus? (ord(ab) ist nicht notwendig ein Vielfaches von ord(a) )
> [mm]\Rightarrow (ba)^n=e$[/mm] Widerspruch zu [mm]$(ba)^m=e$[/mm]
>
> c)
>
> [mm]$ord(a^{-1})=m)[/mm]
> [mm]\iff (a^{-1})^m=e[/mm]
Die beiden Aussagen oben sind nicht äquivalent.
$ord(x)=m [mm] \iff x^m=e \text{ und } x^k\neq [/mm] e [mm] \forall [/mm] 0<k<n$
> [mm]\iff (a^m)^{-1}=e[/mm]
> [mm]\iff a^m=e$[/mm]
>
> Sei n<m als minimal angenommen.
>
> [mm]$(a^{-1})^n=e[/mm]
> [mm]\iff (a^n)^{-1}=e[/mm] [mm]Widerspruch zu §a^n=e[/mm]
Es gilt [mm] $(a^n)^{-1}=e \iff a^n=e$ [/mm] (Gleichung auf beiden Seiten invertieren). Einen Widerspruch kann ich nicht erkennen.
> Es wäre nett, wenn ihr nochmal darüber schaut.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
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Hallo sometree,
ich habe wohl einen Fehler gemacht mit der Klammerung.
Z. z. ord(ab)= ord(ba)=m
[mm] $\Rightarrow (ab)^m=e \iff a^mb^m=e \iff a^m=(b^m)^{-1}\iff e=(b^m)^{-1}(a^m)^{-1} \iff b^m=(a^m)^{-1}\iff b^ma^m=e \iff (ba)^m=e$
[/mm]
Z. z. m ist minimal.
Annahme n:n<m ist minimal.
[mm] $\Rightarrow (ab)^n=e \iff a^nb^n=e \iff a^n=(b^n)^{-1}\iff e=(b^n)^{-1}(a^n)^{-1} \iff b^n=(a^n)^{-1}\iff b^na^n=e \iff (ba)^n=e$ [/mm] Widerspruch [mm] $(ba)^n\neq [/mm] e$
So hier habe ich was anderes probiert. Ist es jetzt richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> Hallo sometree,
>
> ich habe wohl einen Fehler gemacht mit der Klammerung.
>
> Z. z. ord(ab)= ord(ba)=m
>
> [mm]\Rightarrow (ab)^m=e \iff a^mb^m=e \iff a^m=(b^m)^{-1}\iff e=(b^m)^{-1}(a^m)^{-1} \iff b^m=(a^m)^{-1}\iff b^ma^m=e \iff (ba)^m=e[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Davon, das du dickköpfig und rigide denselben Fehler trotz Hinweis wiederholst, macht es nicht richtiger.
Ich verweise auf sometrees Antwort ...
Offenbar liest du dir die Antworten nicht durch, was mich ziemlich verstimmt - das muss ich ehrlich zugeben ...
Einige Leute investieren ihre Freizeit und wollen dich auf den richtigen Weg bei der Aufgabe bringen und du wiederholst den Fehler auf den du hingewiesen worden bist, direkt in der ersten Zeile - was soll man davon halten?!
Ich für meinen Teil halte mich nun komplett raus - sowas nervt mich ...
> [mm] \iff a^m=(b^m)^{-1}\iff e=(b^m)^{-1}(a^m)^{-1} \iff b^m=(a^m)^{-1}\iff b^ma^m=e \iff (ba)^m=e
[/mm]
>
> Z. z. m ist minimal.
>
> Annahme n:n<m ist minimal.
>
> [mm]\Rightarrow (ab)^n=e \iff a^nb^n=e \iff a^n=(b^n)^{-1}\iff e=(b^n)^{-1}(a^n)^{-1} \iff b^n=(a^n)^{-1}\iff b^na^n=e \iff (ba)^n=e[/mm]
> Widerspruch [mm](ba)^n\neq e[/mm]
>
> So hier habe ich was anderes probiert. Ist es jetzt
> richtig?
Das bleibt Quark! Ein Wiederholen der Fehler macht es nicht richtig(er) ...
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
schachuzipus
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Ich fürchte, dann bist du hier nicht richtig in diesem Forum. Solche Überheblichkeit nervt mich auch.
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> Ich fürchte, dann bist du hier nicht richtig in diesem
> Forum.
Das mag sein.
> Solche Überheblichkeit nervt mich auch.
Das ist keine Überheblichkeit.
Versetze dich mal in unsere Lage.
Wir sagen: "Der Punkt ist falsch" und du schreibst dasselbe nochmal auf und fragst, ob es nun richtig ist.
Was würdest du davon halten? Und was dazu sagen? Dass es nun durch Wiederholung richtig geworden ist??
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
ich habe einfach Probleme auf welche Zeile sich Sometree bezieht, deswegen habe ich diesen Ansatz in meiner Unwissenheit wieder gewählt. Ich wollte ja wieder das Assoziativitätsgesetz nach deinem ersten Vorbild anwenden, aber so wie ich das verstehe meinte sometree, dass es falsch sei.
Hey, niemand ist Perfekt. Nimm's locker. Ich mag zwar vom Rang hier eine kleine Nummer sein, aber zumindest nehme ich mir immer Zeit für Hilfesuchende. Es gibt nach meiner Meinung nach keine dummen Fragen! Und wenn sich darunter jemand befindet, der es nach dem hundertsten Mal nicht kapiert, bemühe ich mich immer, bis es "klick" sagt.
Auch ich habe wenig Freizeit weil, ich studiere, aber dann widme ich mich auch meinem Studium komplett, wenn es nicht anders geht. Es geht eben nur ganz oder garnicht, wie es die Zeit eben erlaubt.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mi 17.04.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo meister_quitte,
ganz ehrlich: ich kann schachuzipus Reaktion nachvollziehn. Es ist frustrierend wenn man sich die Mühe macht eine schöne erklärende Antwort zu schreiben und dann wird sie nicht gelesen. Zumindest kann das auf einen so wirken.
Wie schon mal erwähnt ist nicht jede Gruppe kommutativ. In deinem Kopf scheint das noch nicht ganz angekommen zu sein. Das ist nachvollziehbar, denn am Anfang der Gruppentheorie kennt man eigentlich nur kommutative Verknüpfungen (außer vielleicht Matrizenmultiplikation).
Ich schrieb:
Im Allgemeinen ist $ [mm] ab\neq [/mm] ba $ also auch $ [mm] a^mb^m \neq (ab)^m [/mm] $
worauf du im nächsten Post schriebst:
[mm] b^na^n=e \iff (ba)^n=e[/mm]
Das kann durchaus den Eindruck erzeugen als hättest du nicht richtig gelesen.
P.S. Bitte im Internet immer dran denken: Das geschriebene Wort ist weniger flexibel als das Gesprochene.Es ist nicht so heiß wie es gekocht wird.
P.P.S. Diesen ekelhaften Zen-Zustand hab ich nur nach dem Sport. Ist durchaus zu empfehlen. Da kommen mir auch immer gute Ideen.
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Hallo nochmal,
ich nehm's meist locker und bin auch in aller Regel sehr geduldig, sonst wäre ich kaum so lange dabei im Forum 
Nachdem ja nun geklärt ist, wie es von beiden Seiten gemeint war, will ich noch eine Überlegung zu b) anbieten:
Zu zeigen ist, dass [mm]\operatorname{ord}(ab)=\operatorname{ord}(ba)[/mm] ist.
Dazu nehmen an, dass [mm]\operatorname{ord}(ab)=m[/mm] ist, also [mm](ab)^m=e[/mm] und [mm]m[/mm] minimal mit dieser Eigenschaft.
Zeigen wir nun erstmal, dass auch [mm](ba)^m=e[/mm] gilt:
Idee: Mit Äquivalenzumformungen ...
[mm](ba)^m=e[/mm]
[mm]\gdw \underbrace{(ba)(ba)(ba)\ldots (ba)}_{m-mal}=e[/mm]
[mm]\gdw b(\underbrace{(ab)(ab)(ab)\ldots (ab)}_{(m-1)-mal})a=e[/mm]
Nun von links mit [mm] $b^{-1}$ [/mm] und von rechts mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] verknüpfen
[mm]\gdw (ab)^{m-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm]
Nun ist aber in jeder Gruppe [mm] $b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$
[/mm]
Kannst du damit weitermachen?
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus und sometree,
du nutzt also das Assoziativitätsgesetz aus. Das war auch meine Idee nur habe ich es anders eingesetzt. Das war dann wohl auch mein Fehler.
Nun bis du zum Ergebnis [mm] $(ab)^{m-1}=b^{-1}a^{-1}$ [/mm] gekommen. Hier mein Vorschlag: [mm] $(ab)^{m}=e$, [/mm] wenn man ab dazu multipliziert. Diesen ganzen Verlauf muss man nun noch mit ab zeigen.
Ist das richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus und sometree,
>
> du nutzt also das Assoziativitätsgesetz aus. Das war auch
> meine Idee nur habe ich es anders eingesetzt. Das war dann
> wohl auch mein Fehler.
Jo, du hast stillschweigend angenommen, dass die Gruppe abelsch ist, was aber nicht sein muss ...
>
> Nun bis du zum Ergebnis [mm](ab)^{m-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm] gekommen.
> Hier mein Vorschlag: [mm](ab)^{m}=e[/mm], wenn man ab dazu
> multipliziert. Diesen ganzen Verlauf muss man nun noch mit
> ab zeigen.
Nee, das hatten wir ja vorausgesetzt.
Wir haben vorausgesetz, dass [mm](ab)^m=e[/mm] ist und wollten zeigen, dass auch [mm](ba)^m=e[/mm] ist.
Dazu hatten wir [mm](ba)^m=e[/mm] äquivalent umgeformt zu [mm](ab)^m=e[/mm], von dem wir ja wissen, dass es gilt.
Hätte man auch umgekehrt machen können und von [mm] $(ab)^m=e$ [/mm] zu [mm] $(ba)^m=e$ [/mm] umformen können ...
Bleibt nur noch zu überlegen, wieso das [mm]m[/mm] auch für [mm](ba)^m[/mm] minimal ist.
>
> Ist das richtig?
Du bist auf einem guten Weg. Ein bisschen Übung noch und das klappt schon!
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Zurück!
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
Annahme n<m: n minimal
ich fange bei diesem Schritt an: [mm] $b(ab)^{n-1}a=e \iff ab^{n-1}=b^{-1}a^{-1} \iff (ab)^n=e$ [/mm] Wid., da [mm] $(ab)^m=e.
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
hmm, das Zitieren klappt gerade nicht.
Ich würde in der Ann. schreiben:
Ann.: es ex. n<m mit [mm](ba)^n=e[/mm] (nicht: "n minimal")
Dann geht es in deiner Zeile etwas schnell (auch wenn die Rechnung dieselbe ist wie zuvor)
> [mm]b(ab)^{n-1}a=e \iff ab^{n-1}=b^{-1}a^{-1} \iff (ab)^n=e[/mm]
Genau! Und das ist der Widerspruch, denn $m$ hatten wir als kleinste nat. Zahl mit [mm] $(ab)^m=e$ [/mm] angenommen
Ich würde nochmal zu Anfang schreiben [mm](ba)^n=e\gdw ...[/mm] ([mm]\Rightarrow[/mm] genügt hier auch)
Nach dem ersten "<=>" fehlt eine Klammer: Richtig [mm]\red (ab\red )^{n-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm]
Alles in allem stimmt es zwar, ich würde dir aber empfehlen, alle Zwischenschritte aufzuschreiben. Gerade am Anfang ist das immer eine gute Übung ..
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
du hast natürlich Recht. Wenn ich es zu Papier bringe, werde ich darauf achten.
Kommen wir zu c). Z.z. [mm] $ord(a^{-1}=ord(a)$
[/mm]
Also: [mm] $a^m=e \iff \underbrace{a*a*a*...*a*a}_{m-mal}=e$ [/mm] multipliziere nun [mm] $\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}*a^{-1}}_{m-mal}$ [/mm] von rechts an $ [mm] e=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}*a^{-1}}_{m-mal}=(a^{-1})^m
[/mm]
Sei n<m: [mm] $(a^{-1})^n=e$
[/mm]
$ [mm] e=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}*a^{-1}}_{n-mal}=(a^{-1})^n \iff a^n=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}*a^{-1}}_{n-mal}=e$ [/mm] Wid. zu [mm] $a^m=e$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Es reicht doch völlig, zu zeigen:
[mm] a^m=e \gdw (a^{-1})^m=e
[/mm]
FRED
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Danke Fred, und alle die hier mitgemacht haben.
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