Gruppentheorie / Permutation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 24.09.2006 | | Autor: | poke |
Hallo alle,
ich beschäftige mich gerade im Rahmen des Algebrakurses 2006 mit Gruppentheorie und bin dabei auf ein Problem bei der Verknüpfung einer Permutation gestoßen.
Wenn ich es richtig sehe, ist die binäre Verknüpfung der Permutation dreier Elemente eine Gruppe (s. Anhang Verknüpfungstafel).
Die Verknüpfung ist:
(i) assoziativ
(ii) besitzt ein neutrales Element (i.Bsp. ... diesen Text hier...f1)
(iii) und besitzt inverse Elemente.
Die Gruppe ist nicht abelsch, da sie nicht kommutativ ist.
Bei der Betrachtung der Verknüpfungstafel fällt auf, dass die Elemente der binären Verknüpfung f1 bis f6 zu sich selbst invers (und da auch kommutativ) sind (a ° a = e) mit Ausnahme von f4 und f5 (s. V-Tafel).
Wie erklärt sich diese Ausnahme?
Besten Dank
Hagen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: (f1)) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 So 24.09.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Hagen
> Hallo alle,
>
> ich beschäftige mich gerade im Rahmen des Algebrakurses
> 2006 mit Gruppentheorie und bin dabei auf ein Problem bei
> der Verknüpfung einer Permutation gestoßen.
>
> Wenn ich es richtig sehe, ist die binäre Verknüpfung der
> Permutation dreier Elemente eine Gruppe (s. Anhang
> Verknüpfungstafel).
Könntest Du diese in ein anderes Format bringen (möglicherweise sogar Text)?
Ich denke, dass viele dieses Format
| 1: | $ file /tmp/forum-i00180898-n001.\ \(f1\)
| | 2: | /tmp/forum-i00180898-n001. (f1): MacBinary III data with surprising version number |
nicht lesen können 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 24.09.2006 | | Autor: | poke |
Hallo Marc,
es ist eigentlich eine einfache Word-Datei, weshalb mir schleierhaft ist, dass man sie nicht öffnen kann. Ich versuche e erneut. Vielleicht klappt es jetzt.
Gruß
Hagen
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Di 26.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> es ist eigentlich eine einfache Word-Datei, weshalb mir
> schleierhaft ist, dass man sie nicht öffnen kann. Ich
> versuche e erneut. Vielleicht klappt es jetzt.
versuchs doch mal lieber mit ner einfachen Text-Datei (also .txt) oder einer HTML-Datei. Dann besteht auch die Chance, dass jemand der kein Word hat (oder ein Programm hat welches Word-Dateien versuchen kann zu interpretieren) die Datei lesen kann...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 27.09.2006 | | Autor: | poke |
Für alle, die die Verknüpfungstafel nicht als .doc-Datei herunterladen konnten, und die sich noch für das Problem interessieren, nachdem es phrygian beantwortet hat, hier die V-Tafel als .txt-Datei.
Gruß
Hagen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: txt) [nicht öffentlich]
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Hallo Hagen!
> ich beschäftige mich gerade im Rahmen des
> Algebrakurses 2006 mit Gruppentheorie und bin
> dabei auf ein Problem bei der Verknüpfung einer Permutation
> gestoßen.
Ich weiss nicht, ob ich da zu pingelig bin, aber ich denke, daß man nicht von einer "Verknüpfung einer Permutation" sprechen kann. Verknüpft werden jeweils zwei Permutationen.
> Wenn ich es richtig sehe, ist die binäre Verknüpfung der
> Permutation dreier Elemente eine Gruppe (s. Anhang
> Verknüpfungstafel).
>
Auch hier drückst Du Dich ungenau aus: Die Verknüpfung an sich ist keine Gruppe; die Gruppe besteht aus einer Menge (in Deinem Bsp. die Menge der Permutationen dreier Elemente) und einer Verknüpfung, die den Eigenschaften (i), (ii) und (iii) genügt (wobei man die Verknüpfung häufig nicht erwähnt, wenn es klar ist, welche gemeint ist).
> Die Verknüpfung ist:
>
> (i) assoziativ
> (ii) besitzt ein neutrales Element (i.Bsp. ... diesen Text
> hier...f1)
> (iii) und besitzt inverse Elemente.
>
> Die Gruppe ist nicht abelsch, da sie nicht kommutativ ist.
Abelsch und kommutativ sind Synonyme; "nicht abelsch, da nicht kommutativ" sagt so wenig aus wie "es ist kein Streichholz, da es kein Zündholz ist" . Wenn Du zeigen möchtest, daß eine Gruppe [mm] $(G,\circ)$ [/mm] nicht abelsch/kommutativ ist, musst Du zwei Elemente [mm] $f,g\in [/mm] G$ angeben, für die
[mm] [center]$f\circ [/mm] g [mm] \not= g\circ [/mm] f$[/center]
ist. Es reicht übrigens, ein solches Paar anzugeben.
> Bei der Betrachtung der Verknüpfungstafel fällt auf, dass
> die Elemente der binären Verknüpfung f1 bis f6 zu sich
> selbst invers (und da auch kommutativ) sind (a ° a = e) mit
> Ausnahme von f4 und f5 (s. V-Tafel).
>
> Wie erklärt sich diese Ausnahme?
Ich weiss nicht, ob das Deine Frage beantwortet, aber daß
[mm] [center]$f_4\circ f_4 \not= f_1 \not= f_5\circ f_5$[/center]
[/mm]
ist, ist eine Folge der Definition der Verknüpfung von Permutationen.
Oder was genau hast Du gemeint?
Gruß, phrygian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 25.09.2006 | | Autor: | poke |
Hallo phrygian,
meine Formulierungen sind mit Sicherheit upräzise. Besten Dank für deine Antwort, aber leider klärt sie meine Frage nicht.
Meine Frage war, warum die Elemente f1 bis f3 und f6 zu sich selbst invers sind, f4 und f5 jedoch nicht.
Besten Gruß
Hagen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 25.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Hagen,
die Antwort müßte lauten: Das ist so, weil es so ist. In einer Gruppe haben eben manche Elemente diese Ordnung und andere jene.
Die von dir untersuchte Gruppe ist (ganz genau 'ist isomorph zur') übrigens die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks, wenn du die 3 Ecken nicht wie üblich A, B und C nennst, sondern 1, 2 und 3. Die selbstinversen Elemente sind die Spiegelungen und meinetwegen die Identität, die beiden anderen sind die Drehungen. Vielleicht ist das für deine Anschauung hilfreich.
Wir wollten im Kurs ja auch noch ein paar Gruppen konstruieren, damit man etwas Übung in diesen Punkten kriegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mo 25.09.2006 | | Autor: | poke |
Hallo Dieter,
besten Dank für die Antwort. Wobei sie natürlich von der Sache her etwas unbefriedigend ist: Wieso tanzen da zwei Elemente aus der Reihe, die dann auch noch gegenseitig das jeweils inverse Element zum anderen bilden (oder gerade deswegen). Ist aber andererseits auch wieder faszinierend.
Herzliche Grüße
Hagen
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Hallo Hagen!
> Meine Frage war, warum die Elemente f1 bis f3 und f6 zu
> sich selbst invers sind, f4 und f5 jedoch nicht.
Vielleicht beantwortet das Deine Frage:
Wenn Du die Permutationen [mm] f_2, f_3 [/mm] und [mm] f_6 [/mm] betrachtest, wirst Du feststellen, daß jeweils eine Zahl nicht "verschoben" wird (bei [mm] f_2 [/mm] z.B. die 1), so daß die zwei Zahlen, die vertauscht werden, bei nochmaliger Vertauschung dort landen, wo sie ursprünglich waren; deshalb sind diese Permutationen zu sich selbst invers. [mm] (f_1 [/mm] ist zu sich selbst invers, weil keine Zahl verschoben wird.)
Bei [mm] f_4 [/mm] und [mm] f_5 [/mm] hingegen werden alle Zahlen verschoben; das ist die Eigenschaft, die sie von den anderen Permutationen unterscheidet und sie aus der Reihe tanzen lässt.
Hilft Dir das weiter?
Gruß, phrygian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mo 25.09.2006 | | Autor: | poke |
Hallo phrygian,
das ist ein guter Tipp! Ich werde mir die V-Tafel noch einmal genauer anschauen. Das Problem, das bei deiner Erklärung bleibt, ist, warum sich Element f1, bei dem kein Tausch vorkommt, genauso verhält wie f2, f3 u. f6, wo immerhin 2 Plätze getauscht werden.
Besten Dank und besten Gruß
Hagen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:55 Di 26.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo Hagen
> das ist ein guter Tipp! Ich werde mir die V-Tafel noch
> einmal genauer anschauen. Das Problem, das bei deiner
> Erklärung bleibt, ist, warum sich Element f1, bei dem kein
> Tausch vorkommt, genauso verhält wie f2, f3 u. f6, wo
> immerhin 2 Plätze getauscht werden.
Damit eine Permutation von 3 Elementen zu sich selbst invers ist, muss sie die Bedingung erfüllen, daß sie mindestens ein Element auf sich selbst abbildet. Für die anderen zwei Elemente bleiben dann nämlich nur noch zwei Möglichkeiten: entweder werden sie vertauscht (und gelangen bei nochmaliger Vertauschung an ihren ursprünglichen Platz), was bei [mm] f_2, f_3 [/mm] und [mm] f_6 [/mm] der Fall ist, oder sie werden nicht vertauscht (und gelangen bei nochmaliger Nichtvertauschung wieder an ihren ursprünglichen Platz ), was bei [mm] f_1 [/mm] der Fall ist.
[mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] und [mm] f_6 [/mm] erfüllen eben diese Bedingung, und deshalb verhalten sie sich gleich.
Alles klar?
Gruß, phrygian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mi 27.09.2006 | | Autor: | poke |
Ja! Besten Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mi 27.09.2006 | | Autor: | phrygian |
> Ja! Besten Dank!
Schön! Gern geschehen! 
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