Gueltigkeit einer Ungleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Arkus |
Also erst mal Hallo an alle! Ihr macht das übrigens alles toll hier, dickes Lob 
So nun zu meiner Frage. Sie ist aus der schriftlichen Abipruefung von 2003 Grundkurs:
Gegeben ist die Funktion [mm]f[/mm] durch [mm]y=f(x)=x+\left( \bruch{1}{x} \right)+2[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]x \not=0[/mm].
Der zugehoerige Graph wird mit [mm]F[/mm] bezeichnet.
a) (ich kürz es mal ab)
- Nullstelle/Polstelle
- Art/Lage der lokalen Extrema; Nachweis, dass keine Wendepunkte vorh.
- Zeigen Sie, dass [mm]y=x+2[/mm] eine Asymptote des Graphen [mm]F[/mm] ist
- Zeichnung [mm]-7 \le x \le7[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
- Monotonieintervalle angeben (aus Zeichnung)
b) so hier kommt meine eigentliche Frage:
Geben Sie den Wertebereich der Funktion [mm]f[/mm] an
Zeigen Sie, dass aus dem Wertebereich der Funktion [mm]f[/mm] die Gueltigkeit der Ungleichung [mm]\left| x+\left( \bruch{1}{x} \right) \right| \ge2[/mm] fuer alle [mm]x[/mm] mit [mm]x \not=0[/mm] gefolgert werden kann.
Also a) hab ich schon alles durch, wo ich nicht weiter komme ist b).
Denn ich weiß nicht genau, was gemeint ist bzw. wie ich da rangehen soll...
Den Wertebereich habe ich angegeben mit: [mm]W(f):y \in \IR \wedge y \le 0 \wedge y \ge 4[/mm] (aus der Zeichnung). Ich denke mal, dass der soweit ok ist. Aber wie gesagt, weiß ich nicht wie ich die Gueltigkeit der Ungl. mithilfe des Wertebereichs beweisen soll!
Ich habe auch mal versucht die Ungleichung nach 0 umzustellen, dann erhalte ich:
[mm]x^2-2x+1 \ge0[/mm]
So nun koennte ich diese noch in Linearfaktoren zerlegen, also:
[mm](x-1)(x-1) \ge0[/mm]
Naja aber letztendlich hilft mir das auch nicht weiter....:-(
Ich hoffe Ihr koennt mir helfen!
Wahrscheinlich ist es mal wieder total einfach und ich gehe da viel zu kompliziert ran 
Achso und Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 18.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch y<0 bei x<0 und y>4 für x>0 fur pos x [mm] ist|x+\bruch{1}{x}|=x+\bruch{1}{x} [/mm] und
[mm] y=2+(x+\bruch{1}{x})>4 [/mm] daraus [mm] x+\bruch{1}{x}>2 [/mm] fürx<0 ist [mm] |x+\bruch{1}{x}|=-(x+\bruch{1}{x}) [/mm] und mit [mm] 2+x+\bruch{1}{x}<0 [/mm] folgt [mm] 2<-(x+\bruch{1}{x}). [/mm] du kannst das ganze natürlich auch erst mal ohne Betragsstrich hinschreben
[mm] 4<2+x+\bruch{1}{x}<0 [/mm] dann auf beiden Seiten 2 subtr. und dann die Absolutzeichen setzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort.
Also bis zur vorletzten Ungleichung kann ich dir noch folgen, denk ich mal.
Auch wenn mir noch ein wenig die Erklärung dazu fehlt.
Aber müsste denn bei der letzten Ungleichung nicht eigentlich
[mm] 4<2+x+\bruch{1}{x}>0 [/mm]
rauskommen?
Wenn ich mal z.B die 5 in deine Ungl. einsetze, dann kommt ja
[mm] 4<7,2<0 [/mm]
heraus, aber das würde ja bedeuten, dass die Zahl 7,2 größer als 4 ist (stimmt), aber gleichzeitg kleiner 0. Das ist doch aber ein Widerspruch!
Gruß Arkus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 19.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also bis zur vorletzten Ungleichung kann ich dir noch
> folgen, denk ich mal.
> Auch wenn mir noch ein wenig die Erklärung dazu fehlt.
Was fehlt noch?
> Aber müsste denn bei der letzten Ungleichung nicht
> eigentlich
>
> [mm]4<2+x+\bruch{1}{x}[/mm]
>
> rauskommen?
du hast recht, man kann wirklich nicht neg und pos x in derselben Gleichung behandeln. für x<0 gilt
[mm] 2+x+\bruch{1}{x}<0[/mm] [/mm] daraus [mm] x+\bruch{1}{x}<-2 [/mm] daraus [mm] -(x+\bruch{1}{x})>2 [/mm] und damit
[mm] |x+\bruch{1}{x}|>2. [/mm]
für x>0 die andere Ungleichung
damit hattest du recht. man muss x<0 und x>0 getrennt behandeln
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Do 19.05.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo Leduart!
Ja du hast recht, jetzt bekomme ich es auch raus!
Danke nochmal für deine Hilfe...
MFG Arkus
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