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hallo ihr lieben,
ich hab ein riesen problem, und zwar geht es darum,dass ein Hyperebene gegeben ist, das muss ich in die hess-Normalform umwandeln, und dann den abstand zum punkt P berechnen...
E: [mm] 2x_{1}+4x_{2}-6x_{3}-4=0
[/mm]
da die vier ein negatives vorzeichen hat multipliziere ich die gleichung mit dem entgegengesetzen vorzeichen mal [mm] \wurzel{2^2+4^2+(-6)^2}.
[/mm]
das wäre dann
[mm] (2/\wurzel{56})x_{1}+(4/\wurzel{56})x_{2}-(6/\wurzel{56})x_{3}-4/\wurzel{56}=0
[/mm]
so weit richtig alles ???
wenn ich jetzt aber den abstand von punkt [mm] P=\vektor{1\\ 0\\0}
[/mm]
berechnen will,dann setzte ich einfach nur für x die werte von P ein.
richtig so???
aber mein abstand wird negativ für P.... :/
auf einer lösung von freundin, wurde die ebenen gleichung mit [mm] -\wurzel{2^2+4^2+(-6)^2} [/mm] multipiziert, aber wieso mit minus.... das vorzeichen ist doch abhängig von dem von der 4... und wenn es -4 ist muss ich doch mit + multiplizieren...???? oder hat sie es falsch gemacht? aber ihre abstand ist dafür positiv...
ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen,hab morgen eine wichtige klausur und hänge die ganze zeit schon hierdran... bitte bitte um hilfe...
Liebe grüsse planetbronze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Di 23.10.2007 | | Autor: | samsohn |
es dauert noch ein wenig bis ich 1000 % wieder Fit bin aber
so weit ich es wieder durchblicke
E: [mm] 2x_{1}+4x_{2}-6x_{3}-4=0 [/mm]
dividiere erst einmal alles durch 2,
danach wendest du z.b. das hornerschema an,
eine Nst.stelle liegt bei -1,
also ich denke die Funktion E, E :(x-(-1)) dividieren
es bleibt dann nur noch ne qaudratische Gl. übrig.
womit du die beiden anderen Nst. erhälst
war es soweit richtig ?
Mit den nettesten Grüssen aus Südhessen
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danke für die antwort aber, es geht nicht um nullstellen berechnung :)
lg
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> und zwar geht es darum,dass
> ein Hyperebene
Hallo,
nenn' das Ding einfach "Ebene", dann kommt einem alles gleich nur halb so schwierig vor.
> gegeben ist, das muss ich in die
> hess-Normalform umwandeln, und dann den abstand zum punkt P
> berechnen...
>
> E: [mm]2x_{1}+4x_{2}-6x_{3}-4=0[/mm]
>
> da die vier ein negatives vorzeichen hat multipliziere ich
> die gleichung mit dem entgegengesetzen vorzeichen mal
> [mm]\wurzel{2^2+4^2+(-6)^2}.[/mm]
Nein, da geht etwas durcheinander.
Die Hesse-Normalenform sieht ja so aus:
[mm] \vec{n_0}*\vec{x} [/mm] - d=0,
wobei [mm] \vec{n_0} [/mm] senkrecht auf der Ebene steht und die Länge 1 hat (Normaleneinheitsvektor) und [mm] d\ge [/mm] 0 den Abstand zum Nullpunkt angibt.
Jetzt gehen wir schrittweise vor.
Zunächst wandeln wir Deine Koordinatengleichung in die allgemeine Normalenform um:
[mm] \vektor{2 \\ 4\\-6}\vec{x}- [/mm] 4=0.
Siehst Du, wie es gemacht wurde?
Die Zahlen vor den [mm] x_1, x_2,x_3 [/mm] in einen Vektor "gestapelt".
(Wenn Du bedenkst, daß [mm] \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm] ist und [mm] \vektor{2 \\ 4\\-6}*\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}-4=0 [/mm] ausrechnest, siehst Du, daß Du wieder Deine Koordinatenform bekommst.)
Der Vektor vor dem [mm] \vec{x} [/mm] steht senkrecht auf der Ebene, er hat bloß noch nicht die Länge 1.
Die Zahl hinter dem Minuszeichen (!) ist bereits positiv, wir müssen diesbezüglich also nicht tätig werden.
( Stünde da +2, so würden wir alles mit -1 multiplizieren.)
Nun erfolgt der Übergang zur Hesse-Normalenform.
Hierfür mußt Du zuerst die Länge des Vektors [mm] \vektor{2 \\ 4\\-6} [/mm] ermitteln, und anschließend wird die komplette Gleichung durch diese Zahl geteilt bzw. mit [mm] \bruch{1}{Zahl} [/mm] multipliziert.
Die Länge des Normalenvektors [mm] \vektor{2 \\ 4\\-6} [/mm] ist |
[mm] \vektor{2 \\ 4\\-6}|=\wurzel{2^2+4^2+(-6)^2}=\wurzel{56}
[/mm]
Die Hesse-Normalenform ist somit
[mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}\vektor{2 \\ 4\\-6}\vec{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}*4=0,
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}*4=\bruch{2\wurzel{14}}{14}=\bruch{\wurzel{14}}{7} [/mm] liefert Dir den Abstand der Ebene zum Nullpunkt - falls er mal von Interesse sein sollte.
Den Abstand der Ebene zum Punkt [mm] P=\vektor{1\\ 0\\0} [/mm] bekommst Du nun, indem Du ihn in die Hesse-Normalenform einsetzt:
Abstand zwischen P und [mm] Ebene=\bruch{1}{\wurzel{56}}\vektor{2 \\ 4\\-6}*\vektor{1\\ 0\\0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}*4=\bruch{2}{\wurzel{56}}- \bruch{4}{\wurzel{56}}= [/mm] - [mm] \bruch{2}{\wurzel{56}}=-\bruch{\wurzel{14}}{14}.
[/mm]
Das Minuszeichen sagt Dir hier: Nullpunkt und Punkt P liegen auf derselben Seite der Ebene.
Wenn sie auf verschiedenen Seiten liegen, errechnest Du einen positiven Abstand.
In Anbetracht Deiner nahenden Klausur habe ich Dir die Aufgabe nun langsam vorgerechnet.
Schau sie Dir gut an, versuch sie dann mit Zettel und Papier nachzurechnen.
Danach solltest Du Dich an einer "frischen" Aufgabe versuchen, die das Thema behandelt.
Gruß v. Angela
P.S.:
Ich habe nochmal über das geschaut, was Du geschrieben hattest.
Dies hier
> $ [mm] (2/\wurzel{56})x_{1}+(4/\wurzel{56})x_{2}-(6/\wurzel{56})x_{3}-4/\wurzel{56}=0 [/mm] $ war völlig richtig!
Es ist ja das gleiche wie
[mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}\vektor{2 \\ 4\\-6}\vec{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}*4=0.
[/mm]
Den Prozeß, wie Du dorthinkommst, hattest Du allerdings zuvor verkehrt beschrieben.
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hallo angela,
erstmal vielen dank für deine mühe :),
ich dachte abstände müssen immer positiv sein, also kann ich dann mein ergebniss einfach in bertrag nehmen um den abstand anzugeben ?
ich hab das nochmal nachgerechnet, und
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}\cdot{}4=\bruch{2\wurzel{19}}{19} [/mm] $
da stimmt glaube ich etwas nicht,das kann nicht gleich sein.
Liebe grüsse planetbronze
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> hallo angela,
> erstmal vielen dank für deine mühe :),
> ich dachte abstände müssen immer positiv sein, also kann
> ich dann mein ergebniss einfach in bertrag nehmen um den
> abstand anzugeben ?
Hallo,
ich hatte ja ausgerechnet Abstand=$ - [mm] \bruch{\wurzel{19}}{19}. [/mm] $,
Das bedeutet: der Abstand des Punktes zur Ebene ist [mm] \bruch{\wurzel{19}}{19}.
[/mm]
Das Minuszeichen sagt uns: Punkt und Nullpunkt liegen auf derselben Seite der Ebene.
Wenn ich schreibe "Abstand= - [mm] \bruch{\wurzel{19}}{19}" [/mm] so ist das nicht ganz korrekt, wie Du richtig bemerkst. Der Abstand ist der Betrag dessen, was ich errechnet habe,
>
> ich hab das nochmal nachgerechnet, und
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{56}}\cdot{}4=\bruch{2\wurzel{19}}{19}[/mm]
> da stimmt glaube ich etwas nicht,das kann nicht gleich
> sein.
Es ist verkehrt, danke, ich werd's in anderen Post korrigieren.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{56}}\cdot{}4=\bruch{2\wurzel{14}}{14}=\bruch{\wurzel{14}}{7}
[/mm]
Gruß v. Angela
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vielen vielen dank, dass du dir die mühe gemacht hast , das hat mich alles jetzt viel weiter gebracht...:)
schönen tag noch.
viele liebe grüsse
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