Hängebrücke mit Param. a & c < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 08.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Das Seil einer Hängebrücke, mit einer Breite von 200m, kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der Funktion [mm] f_{a,c}(x)= \bruch{a}{2c}*(e^{cx} [/mm] + [mm] e^{-cx}) [/mm] mit a,c > 0.
c) Berechnen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte haben einen Abstand von 200m und eine Höhe von 30m.
d) Wie groß ist das Gefälle im Aufhängepunkt?
e) An welchen Stellen ist das Seil 15m über der Fahrbahn?
f) In welchem Bereich könnte ein Stuntman mit dem Motorrad auf dem Seil fahren, wenn es maximal 20% Steigung "schafft"? |
moin,
nachdem ich die (hier nicht erwähnten) aufgabenteile
symmetrie [funktion ist achsensymmetrisch] und minimum
bestimmt habe, mit
[mm] f_{a,c}'(x)= \bruch{a}{2}*e^{cx} [/mm] - [mm] \bruch{a}{2} e^{-cx}
[/mm]
0= [mm] e^{cx} [/mm] - [mm] e^{-cx} [/mm]
[mm] e^{cx} [/mm] = [mm] e^{-cx} [/mm]
=> cx = -cx
x=0
da [mm] f_{a,c}''(x)= \bruch{ac}{2}*e^{cx} [/mm] + [mm] \bruch{ac}{2} e^{-cx}
[/mm]
und a,c >0 ist f''(0) >0 => TP(0 / [mm] \bruch{a}{c})
[/mm]
soweit, sogut.
***
***
jetzt zu meinen fragen:
1. was ist eine kettenlinie?
zu c) ich brauche zwei gleichungen, um a und c bestimmen zu können.
1. der tiefpunkt soll bei 5m liegen, d.h. f(0)=5
(1) 5= [mm] \bruch{a}{c}
[/mm]
ich gehe davon aus, dass die funktion also zwischen -100 und +100 verläuft, f(0)=5 ist und f(-100)=f(100)=30; richtig?
(2) 30 = [mm] \bruch{a}{2c}*(e^{100c} [/mm] + [mm] e^{-100c}) [/mm]
aus (1) folgt a= 5c
in (2) eingesetzt:
30 = [mm] \bruch{5c}{2c}*(e^{100c} [/mm] + [mm] e^{-100c}) [/mm]
12 = [mm] e^{100c} [/mm] + [mm] e^{-100c}
[/mm]
und hier komme ich nicht weiter. wenn ich die gleichung logarithmisiere
erhalte ich doch:
ln 12 = ln [mm] (e^{100c}) [/mm] + ln ( [mm] e^{-100c})
[/mm]
oder nicht? dann fällt mein c ja völlig raus???
***
damit kann ich auch kein e) bzw. f) ausrechnen, da ich wedera noch c bestimmt habe :-(
gut zu d) im aufhängepunkt ist die steigung doch
[mm] \bruch{30 -5}{-100 -0} [/mm] (differenzenquotient)
= -25% bzw. + 25%
vielen dank für eure hilfe!
wolfgang
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Hallo,
eine Idee für die Stelle, an der du fest bist, habe es mal durchgerechnet, es hat geklappt:
[mm] 12=e^{100c}+e^{-100c}
[/mm]
[mm] 12=e^{100c}+\bruch{1}{e^{100c}}
[/mm]
jetzt habe ich substituiert: [mm] u=e^{100c}
[/mm]
[mm] 12=u+\bruch{1}{u}
[/mm]
[mm] 0=u^{2}-12u+1
[/mm]
ich habe [mm] u_1=11,9160798
[/mm]
ich habe [mm] c_1=0,024778887
[/mm]
das habe ich in die Ausgangsgleichung zur Probe eingesetzt und 12 erhalten,
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Do 08.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
> 1. was ist eine kettenlinie?
Man nennt diese Kurve "Kettenlinie", weil sich eine an 2 Punkten aufgehängte und frei durchhängende Ketten genau wied diese Kurve verformt.
> und hier komme ich nicht weiter. wenn ich die gleichung
> logarithmisiere erhalte ich doch:
>
> ln 12 = ln [mm](e^{100c})[/mm] + ln ( [mm]e^{-100c})[/mm]
Wenn, dann müsstest Du auch auf die gesamte rechte Seite den [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwenden. Und das führt nicht zum Ziel.
> gut zu d) im aufhängepunkt ist die steigung doch
>
> [mm]\bruch{30 -5}{-100 -0}[/mm] (differenzenquotient)
Hier berechnest Du gerade eine durchschnittliche Steigung zwischen Aufhängepunkt und dem Tiefpunkt (= Sekantensteigung).
Gesucht ist hier allerdings eine Tangentensteigung. Du musst also den Wert der 1. Ableitung [mm] $f_{a,c}'(x)$ [/mm] an der Stelle $x \ = \ 100m$ ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 08.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallo loddar, hallo steffi,
ok, ich muss also die tangentensteigung, d.h. die 1. ableitung nehmen.
ja, ich hatte auch zuerst x=100 als tiefpunktkoordinate angedacht, aber die minimumberechnung führt auf x=0 als tiefpunktkoordinate. also habe ich den graphen so gezeichnet, dass er im intervall [-100;100] liegt.
zum ln
jetzt weiss ich aber noch nicht, wie ich c ausrechnen soll. stimmt steffis ansatz? da erscheint mir c [mm] \approx [/mm] 0,025 m und damit a= 0,124 m als ziemlich klein. kann das angehen?
kann ich nicht doch den ln bilden (auch auf der rechten seite)? oder ist das nicht lösbar? würde sich etwas ändern wenn [mm] e^{-cx} [/mm] auf die linke seite brächte, bevor ich den ln bilde?
also, wenn ich z.b.
12 - [mm] e^{-100c} [/mm] = [mm] e^{100c} [/mm]
ln (12 - [mm] e^{-100c}^) [/mm] = ln [mm] (e^{100c})
[/mm]
ln 12 - ln ( [mm] \bruch{1}{e^{100c}}) [/mm] = 100c
ln 12 - ln 1 - ln [mm] (e^{100c})= [/mm] 100c
ln 12 = 200c
oder doch substituieren...
???
gruß
wolfgang
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Hallo,
glaub mir das [mm] c_1=0,0024...., c_2=-o,oo24...., a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind dann auch kein Problem mehr, du mußt aber beachten, [mm] c_1 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] gilt für x>0, entsprechend [mm] c_2 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] für x<0, wenn du funkyplot hast lasse dir die Funktionen auch mal zeichnen sehen wunderbar aus, oder mache drei Proben für -100, 100 und 0, am schnellsten siehst du es für x=0, [mm] f(0)=2,5(e^{0}+e^{0})=5,
[/mm]
Steffi
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> kann ich nicht doch den ln bilden (auch auf der rechten
> seite)? oder ist das nicht lösbar? würde sich etwas ändern
> wenn [mm]e^{-cx}[/mm] auf die linke seite brächte, bevor ich den ln
> bilde?
>
> also, wenn ich z.b.
>
> 12 - [mm]e^{-100c}[/mm] = [mm]e^{100c}[/mm]
der Ausdruck ln (x+y) bzw. ln (x-y) kann nicht weiter gelöst werden, wenn du nicht beide Variablen kennst. Die von dir erdachte Möglichkeit, also aus dem Term dann ein ln (x) + ln (y) zu machen, ist mathematisch unkorrekt. ln (x) + ln (y) = ln (x*y)
(ich weiß das, weil ich das auch gerne falsch mach^^)
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