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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 17.11.2004 | | Autor: | tapsi |
kann mir jemand mal schnell bei der aufgabe helfen.
sei (an) Folge in reellen Zahlen. Beweisen oder widerlegen sie:
(an) hat endlich viele Häufungswerte => (an) beschränkt;
wäre echt nett wenn mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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an hat endlich viele Häufungswerte => an ist beschränkt
nach Def: a ist Häufungspunkt einer Folge, wenn es eine Teilfolge von an gibt, die gegen a konvergiert.
Wenn es also endlich viele Häufungswerte h1, h2, ..., hk für an gibt, gibt es auch endlich viele Teilfolgen bk von an, wobei jede Teilfolge gegen einen Häufungswert konvergiert:
Teilfolge b1 konvergiert gegen h1,
Teilfolge b2 konvergiert gegen h2,
...
Teilfolge bk konvergiert gegen hk,
wobei k ein endlicher Wert ist, also k [mm] \le [/mm] n ist
Nach Satz 4. 1 gilt, dass jede konvergente Folge beschränkt ist.
Da alle Teilfolgen konvergieren (nämlich gegen ihren Häufungspunkt), sind alle Teilfolgen auch beschränkt.
Jede Teilfolge hat also eine obere und auch untere Schranke.
b1 hat sup b1 und inf b1
b2 hat sup b2 und inf b2 usw
Alle oberen Schranken der Teilfolgen fasse ich zur Menge S zusammen
Alle unteren Schranken der Teilfolgen bilden die Menge I.
In der Menge S gibt es wieder einen größten Wert, nämlich die größte oberste Schranke aller Teilfolgen. Und genauso gibt es eine kleinste untere Schranke aller Teilfolgen in der Menge I.
sup S = max {sup bk}
inf I = min {inf bk}
Da aber die Teilfolgen bk die Gesamtfolge an bilden, ist die größte obere Schranke der Teilfolgen eine obere Schranke für die Gesamtfolge an und die kleinste untere Schranke der Teilfolgen ist wiederum eine unteren Schranke für an.
Und da an eine obere und eine untere Schranke besitzt, ist an auch beschränkt.
w. z. b. w.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 17.11.2004 | | Autor: | tapsi |
vielen vielen dank
ist echt ganz lieb von dir.
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