Häufungspunkt Rationale Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 22.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Finden Sie eine Folge [mm] (q_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] , die jede rationale Zahl als Häufungspunkt hat.
Können Sie die Folge [mm] (q_n) [/mm] so wählen, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] kein Häufungspunkt ist?
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Hallo ihr.
Habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.
würde eine Folge vorschlagen, die in etwa so aussieht :
[mm] q_n [/mm] = [mm] (-1)^{n} \* (\bruch{n+1}{n})^{{-1}^{n}} [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] .
Was haltet Ihr davon???
Da [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] ist [mm] \wurzel{2} [/mm] nie ein Häufungspunkt.
Stimmt das???
Danke für eure Hilfe und noch eine schöne Woche.
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 26.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo.
Habe immer noch Probleme mit dieser Aufgabe
Eine Folge wäre ja z.B.
[mm] q_n [/mm] = [mm] -\infty [/mm] + [mm] 10^{-\infty} [/mm] *n
Dann kommt jede rationale Zahl vor bzw. die Folge in die Nähe, also ist auch jede rationale Zahl ein Häufungspunkt.
Wenn man das [mm] \epsilon [/mm] natürlich etwas größer wählt.
????
Könnte man das so stehen lassen???
Danke für eure Hilfe und noch einen schönen Sonntag.
Tschüßi sagt Röby
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> Hallo.
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> Habe immer noch Probleme mit dieser Aufgabe
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> Eine Folge wäre ja z.B.
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> [mm]q_n[/mm] = [mm]-\infty[/mm] + [mm]10^{-\infty}[/mm] *n
Die kannst Du streichen. Es war eine Folge von reellen Zahlen gesucht, und [mm] \infty [/mm] ist keine.
Gruß v. Angela
>
> Dann kommt jede rationale Zahl vor bzw. die Folge in die
> Nähe, also ist auch jede rationale Zahl ein Häufungspunkt.
> Wenn man das [mm]\epsilon[/mm] natürlich etwas größer wählt.
>
> ????
>
> Könnte man das so stehen lassen???
>
> Danke für eure Hilfe und noch einen schönen Sonntag.
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> Tschüßi sagt Röby
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> Finden Sie eine Folge [mm](q_n)[/mm] in [mm]\IR[/mm] , die jede rationale
> Zahl als Häufungspunkt hat.
> Können Sie die Folge [mm](q_n)[/mm] so wählen, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] kein
> Häufungspunkt ist?
>
> würde eine Folge vorschlagen, die in etwa so aussieht :
>
> [mm]q_n[/mm] = [mm](-1)^{n} \* (\bruch{n+1}{n})^{{-1}^{n}}[/mm] für alle
> [mm]n\in \IN[/mm] .
>
> Was haltet Ihr davon???
Nix!!!
Aber erstmal: Hallo.
Ich halte von Deiner Folge nichts, weil man noch nicht einmal [mm] \bruch{3}{5} [/mm] damit "erwischt".
Eine Möglichkeit, die mir für solch eine Folge, die jede rationale Zahl als Häufungspunkt hat, beruht auf der kreativen Verarbeitung der Cantorschen Diagonalisierung. Du weißt doch, dies Geschlängels, mit dem man zeigt, daß die rationalen Zahlen abzählbar sind.
Das geht ja so
0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3,3/2,-3/2,4,-4,5,-5,1/5,-1/5 ...
nun die gebastelte Folge:
0, 1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 1/2, 0, 1, -1, 1/2, -1/2, 0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, 0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, 0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, ...
Ich hoffe, Du hast die Systematik verstanden. Ich habe nämlich nicht vor, das irgendwie in [mm] q_n=... [/mm] zu packen. Weil ich es nicht kann.
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> Da [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm] ist [mm]\wurzel{2}[/mm] nie ein
> Häufungspunkt.
Nein, das stimmt nicht. Es geht ja nur darum, ob man eine Teilfolge findet, die gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert, das kann eine Folge rationale Folge durchaus tun, denk an Intervallschachtelungen mit Intervallhalbierung oder so.
Aber über [mm] \wurzel{2} [/mm] kann ich nicht weiter nachdenken jetzt. Es kringeln sich komische Folgen durch meinem Kopf...
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:46 So 26.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Dank dir Angela.
Habe schon die ganze Zeit versucht, eine Folge zu basteln.
Mal sehen, was da noch wird.
Aber deine Idee passt schon.
Machs gut und noch einen schönen Sonntag
Röby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 26.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Können Sie die Folge [mm](q_n)[/mm] so wählen, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] kein
> Häufungspunkt ist?
Kurz noch dazu: das geht sicher nicht. (Denn [m]\sqrt{2}[/m] ist ja Häufungspunkt rationmaler Zahlen, also folgt ...)
SEcki
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