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| Aufgabe | | Es seien [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] zwei Folgen, die nach oben und unten beschränkt sind. Zeige: [mm] ${liminf}_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \le {liminf}_{n\to\infty}a_{n} [/mm] + [mm] limsup_{n\to\infty}b_{n}$ [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich eine Frage. Ich habe in einem anderen Post auf einer anderen Seite gelesen, dass man folgendermaßen vorgehen kann:
Sei [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] eine Teilfolge von [mm] (a_{n})_{n\in\IN}, [/mm] die gegen [mm] $a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n} [/mm] konvergiert.
Über die entsprechend entstandene Folge [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] lässt sich jetzt noch nichts aussagen.
Aber nun wählen wir eine Teilfolge [mm] $(b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}$ [/mm] von [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$, [/mm] die gegen irgendeinen Häufungspunkt von [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Meine Frage ist nun: Wieso darf ich behaupten, dass die Teilfolge [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] überhaupt noch irgendwelche Häufungspunkte von [mm] $b_{n}$ [/mm] beinhaltet, sodass ich dann also aus [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] eine Teilfolge wählen kann, die gegen einen HP von [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert?
Könnte das die Lösung sein: Weil [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] beschränkt, ist auch die Teilfolge [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] beschränkt und hat nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß mindestens einen Häufungspunkt. Und ein Häufungspunkt der Teilfolge [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] muss natürlich auch ein Häufungspunkt von der ursprünglichen Folge [mm] $(b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] sein.
Ist das die Begründung, die ich suche? Ist das ausreichend "logisch"?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] zwei Folgen, die nach oben und
> unten beschränkt sind. Zeige:
> [mm]{liminf}_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \le {liminf}_{n\to\infty}a_{n} + limsup_{n\to\infty}b_{n}[/mm]
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> Hallo!
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> Bei der obigen Aufgabe habe ich eine Frage. Ich habe in
> einem anderen Post auf einer anderen Seite gelesen, dass
> man folgendermaßen vorgehen kann:
>
> Sei [mm](a_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge von
> [mm](a_{n})_{n\in\IN},[/mm] die gegen [mm]$a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n}[/mm]
> konvergiert.
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> Über die entsprechend entstandene Folge
> [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] lässt sich jetzt noch nichts
> aussagen.
>
> Aber nun wählen wir eine Teilfolge
> [mm](b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] von [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm], die
> gegen irgendeinen Häufungspunkt von [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> konvergiert.
>
> Meine Frage ist nun: Wieso darf ich behaupten, dass die
> Teilfolge [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] überhaupt noch
> irgendwelche Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] beinhaltet, sodass
> ich dann also aus [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge
> wählen kann, die gegen einen HP von [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> konvergiert?
>
> Könnte das die Lösung sein: Weil [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> beschränkt, ist auch die Teilfolge [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm]
> beschränkt und hat nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
> mindestens einen Häufungspunkt. Und ein Häufungspunkt der
> Teilfolge [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] muss natürlich auch ein
> Häufungspunkt von der ursprünglichen Folge
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] sein.
>
> Ist das die Begründung, die ich suche?
Ja, genau so macht man das
> Ist das ausreichend "logisch"?
Das ist es
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort 
Ich habe nun noch eine Frage:
Wir wissen:
- [mm](a_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_{n})_{n\in\IN},[/mm] die gegen [mm]$a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n}[/mm] konvergiert.
- Teilfolge [mm](b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] von [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm], die gegen irgendeinen Häufungspunkt von [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert.
- Entsprechend konvergiert Teilfolge [mm] $(a_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}$ [/mm] immer noch gegen [mm] $a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n}$, [/mm] da es Teilfolge einer konvergenten Folge ist.
In dem entsprechenden Post wird nun geschlussfolgert:
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \le lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} [/mm] + [mm] b_{n_{k_{l}}})$
[/mm]
Das verstehe ich noch nicht so ganz. Links steht der kleinste Häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}, [/mm] rechts steht - ja, was steht rechts eigentlich?
Ist das überhaupt ein Häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}, [/mm] der da steht? Wieso darf ich das behaupten?
Danke für erneute Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für deine Antwort
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> Ich habe nun noch eine Frage:
>
> Wir wissen:
>
> - [mm](a_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge von
> [mm](a_{n})_{n\in\IN},[/mm] die gegen [mm]$a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n}[/mm]
> konvergiert.
>
> - Teilfolge [mm](b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] von
> [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm], die gegen irgendeinen Häufungspunkt
> von [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert.
>
> - Entsprechend konvergiert Teilfolge
> [mm](a_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] immer noch gegen
> [mm]a:={liminf}_{n\to\infty}a_{n}[/mm], da es Teilfolge einer
> konvergenten Folge ist.
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> In dem entsprechenden Post wird nun geschlussfolgert:
>
> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \le lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} + b_{n_{k_{l}}})[/mm]
>
> Das verstehe ich noch nicht so ganz. Links steht der
> kleinste Häufungspunkt der Folge [mm](a_{n}+b_{n})_{n\in\IN},[/mm]
> rechts steht - ja, was steht rechts eigentlich?
> Ist das überhaupt ein Häufungspunkt der Folge
> [mm](a_{n}+b_{n})_{n\in\IN},[/mm] der da steht? Wieso darf ich das
> behaupten?
[mm] (a_{n_{k_{l}}}) [/mm] und [mm] (b_{n_{k_{l}}}) [/mm] sind konvergent. Dann ist auch [mm] (a_{n_{k_{l}}}+b_{n_{k_{l}}}) [/mm] konvergent.
Also ist [mm] (a_{n_{k_{l}}}+b_{n_{k_{l}}}) [/mm] eine konvergente Teilfolge von [mm] (a_n+b_n)
[/mm]
Somit ist [mm] lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} [/mm] + [mm] b_{n_{k_{l}}}) [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] (a_n+b_n)
[/mm]
FRED
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> Danke für erneute Hilfe,
>
> Grüße,
> Stefan
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Vielen Dank, Fred, für deine Antwort!
Habe es jetzt verstanden.
Grüße,
Stefan
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