Häufungspunkt bei Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige (für beschränkte Folgen [mm] a_{n}, b_{n}):
[/mm]
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty}(b_{n}) \le liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})$ [/mm] |
Hallo!
Habe doch noch eine Frage zu der obigen Aufgabe. Ich habe mich gefragt, ob ich hier überhaupt mit Teilfolgen arbeiten muss, habe es aber trotzdem probiert:
Also:
- [mm] $(a_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] Teilfolge von [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}$, [/mm] die gegen [mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n})$ [/mm] konvergiert.
- [mm] $(b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}$ [/mm] entsprechende Teilfolge von [mm] $(b_{n_{k}})_{k\in\IN}$, [/mm] die gegen [mm] $liminf_{n\to\infty}(b_{n})$ [/mm] konvergiert
- [mm] $(a_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}$ [/mm] konvergiert immer noch gegen [mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n})$.
[/mm]
Also:
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty}(b_{n}) [/mm] = [mm] lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}}) [/mm] + [mm] lim_{l\to\infty}(b_{n_{k_{l}}}) [/mm] = [mm] lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} [/mm] + [mm] b_{n_{k_{l}}})$,
[/mm]
aber ich habe das Gefühl, mehr als dass diese Folge [mm] (a_{n_{k_{l}}} [/mm] + [mm] b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN} [/mm] eine konvergente Teilfolge von [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist und damit [mm] $lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} [/mm] + [mm] b_{n_{k_{l}}})$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist, kann ich nicht aussagen... Oder?
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige (für beschränkte Folgen [mm]a_{n}, b_{n}):[/mm]
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> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n}) + liminf_{n\to\infty}(b_{n}) \le liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})[/mm]
>
> Hallo!
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> Habe doch noch eine Frage zu der obigen Aufgabe. Ich habe
> mich gefragt, ob ich hier überhaupt mit Teilfolgen
> arbeiten muss, habe es aber trotzdem probiert:
>
> Also:
>
> - [mm](a_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] Teilfolge von [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm],
> die gegen [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n})[/mm] konvergiert.
>
> - [mm](b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] entsprechende Teilfolge von
> [mm](b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm], die gegen [mm]liminf_{n\to\infty}(b_{n})[/mm]
> konvergiert
Nein ! Aus [mm] (b_{n_{k}}) [/mm] kannst Du zwar eine konvergente Teilfolge [mm] (b_{n_{k_{l}}}) [/mm] auswählen, aber die wird i.a. nicht gegen [mm]liminf_{n\to\infty}(b_{n})[/mm] konvergieren !
FRED
>
> - [mm](a_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] konvergiert immer noch gegen
> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n})[/mm].
>
> Also:
>
> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n}) + liminf_{n\to\infty}(b_{n}) = lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}}) + lim_{l\to\infty}(b_{n_{k_{l}}}) = lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} + b_{n_{k_{l}}})[/mm],
>
> aber ich habe das Gefühl, mehr als dass diese Folge
> [mm](a_{n_{k_{l}}}[/mm] + [mm]b_{n_{k_{l}}})_{l\in\IN}[/mm] eine konvergente
> Teilfolge von [mm](a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist und damit
> [mm]lim_{l\to\infty}(a_{n_{k_{l}}} + b_{n_{k_{l}}})[/mm] ein
> Häufungspunkt von [mm](a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist, kann ich
> nicht aussagen... Oder?
>
> Grüße und danke für Eure Hilfe,
> Stefan
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Hallo!
Danke Fred für deine Antwort! Da habe ich aber einen groben Fehler gemacht...
Nun, dann geht das mit den Teilfolgen ja gar nicht so ohne weiteres, da ich ja immer nur eine Teilfolge gegen den liminf konvergieren lassen kann.
Aber wie genau mache ich es dann? Ich weiß, dass es für beliebiges [mm] \epsilon [/mm] > 0 nur endlich viele Folgenglieder [mm] a_{k} [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] $a_{k} \le liminf_{n\to\infty} (a_{n})-\epsilon$
[/mm]
gibt, bringt mich das hier vielleicht weiter? Dann könnte ich schreiben: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist für fast alle [mm] k\in\IN:
[/mm]
[mm] $a_{k} \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n})-\epsilon$
[/mm]
[mm] $b_{k} \ge liminf_{n\to\infty} (b_{n})-\epsilon$,
[/mm]
also
[mm] $a_{k} [/mm] + [mm] b_{k} \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty} (b_{n})-2\epsilon$.
[/mm]
Beim [mm] liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] weiß ich: Für dasselbe [mm] \epsilon [/mm] > 0 ist für fast alle [mm] k\in\IN:
[/mm]
[mm] $a_{k} [/mm] + [mm] b_{k} \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n}+b_{n}) -\epsilon$
[/mm]
Jetzt die beiden Ungleichungen subtrahieren:
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty} (b_{n}) -2\epsilon [/mm] - [mm] liminf_{n\to\infty} (a_{n}+b_{n}) [/mm] + [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty} (b_{n}) [/mm] - [mm] liminf_{n\to\infty} (a_{n}+b_{n}) [/mm] - [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow liminf_{n\to\infty} (a_{n}+b_{n}) \ge liminf_{n\to\infty} (a_{n}) [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty} (b_{n}) [/mm] - [mm] \epsilon$
[/mm]
für fast alle [mm] \epsilon [/mm] > 0.
Mhh... Aber das bringt mich nicht wirklich weiter, oder? Wie muss ich den Beweis angehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 21.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Mir kommt gerade noch eine alternative Idee, da die andere ja wahrscheinlich falsch ist:
Also, ich will zeigen dass
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \ge liminf_{n\to\infty}a_{n} [/mm] + [mm] liminf_{n\to\infty}b_{n}$.
[/mm]
Ich könnte ja auch von der linken Seite beginnen:
Wähle eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}+b_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] von [mm] (a_{n}+b_{n}) _{n\in\IN} [/mm] sodass [mm] $\lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}} [/mm] + [mm] b_{n_{k}}) [/mm] = [mm] liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})$.
[/mm]
Dann kann ich offenbar schreiben:
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}} [/mm] + [mm] b_{n_{k}}) [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}}) [/mm] + [mm] \lim_{k\to\infty}(b_{n_{k}})$,
[/mm]
d.h. die beiden einzelnen Limiten müssen existieren, weil ja der liminf existiert. Da die beiden Limiten Grenzwerte von Teilfolgen von [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] sind, handelt es sich um "irgendwelche" Häufungspunkte von [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] bzw. [mm] (b_{n})_{n\in\IN}. [/mm] Es gilt dann:
[mm] \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}}) \ge \liminf_{n\to\infty}a_{n}
[/mm]
und
[mm] \lim_{k\to\infty}(b_{n_{k}}) \ge \liminf_{n\to\infty}b_{n}
[/mm]
also:
[mm] $liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}} [/mm] + [mm] b_{n_{k}}) [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}}) [/mm] + [mm] \lim_{k\to\infty}(b_{n_{k}}) \ge \liminf_{n\to\infty}a_{n} [/mm] + [mm] \liminf_{n\to\infty}b_{n}$
[/mm]
Kann ich das so schreiben? Oder habe ich wieder irgend etwas Unverzeihliches übersehen 
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Mir kommt gerade noch eine alternative Idee, da die andere
> ja wahrscheinlich falsch ist:
>
> Also, ich will zeigen dass
>
> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) \ge liminf_{n\to\infty}a_{n} + liminf_{n\to\infty}b_{n}[/mm].
>
> Ich könnte ja auch von der linken Seite beginnen:
>
> Wähle eine Teilfolge [mm](a_{n_{k}}+b_{n_{k}})_{k\in\IN}[/mm] von
> [mm](a_{n}+b_{n}) _{n\in\IN}[/mm] sodass [mm]\lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}} + b_{n_{k}}) = liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})[/mm].
>
> Dann kann ich offenbar schreiben:
>
> [mm]liminf_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n}) = \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}} + b_{n_{k}}) = \lim_{k\to\infty}(a_{n_{k}}) + \lim_{k\to\infty}(b_{n_{k}})[/mm],
>
> d.h. die beiden einzelnen Limiten müssen existieren, weil
> ja der liminf existiert.
Das ist nicht richtig. Gegenbeispiel: [mm] $a_n=(-1)^n$, $b_n=(-1)^{n+1}$, [/mm] daher ist [mm] $a_n+b_n=0$ [/mm] für alle $n$ und damit [mm] $(a_n+b_n)$ [/mm] eine konvergente Folge, obwohl weder [mm] $(a_n)$ [/mm] noch [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergieren.
Viele Grüße
Rainer
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