Haeufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Also folgende aufgabenstellung
Geben Sie alle Haeufungspunkte der Folge an n=1 bis [mm] \infty [/mm] mit
an = n- | [mm] \wurzel{n} |^2
[/mm]
dabei bezeichnet |x| die grosste ganze zahl, die nicht grosser als x ist.
die haeufungspunkte waren doch die anzahl der grenzwerte oder nicht ...wie muss ich denn jetzt an diese aufgabe rangehen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Also folgende aufgabenstellung
>
> Geben Sie alle Haeufungspunkte der Folge an n=1 bis [mm]\infty[/mm]
> mit
>
> an = n- | [mm]\wurzel{n} |^2[/mm]
>
> dabei bezeichnet |x| die grosste ganze zahl, die nicht
> grosser als x ist.
>
> die haeufungspunkte waren doch die anzahl der grenzwerte
Bitte???
Nach Definition müssen in jeder [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung eines HP unendlich viele Punkte liegen. "Anzahl der Grenzwerte" ist Unfug, denn eine Folge kann maximal einen Grenzwert haben.
Dein Ausdruck an = n- | [mm]\wurzel{n} |^2[/mm] ist schon mal für unendlich viele n (nämlich für alle Quadratzahlen) genau Null. Somit ist Null einer der Häufungspunkte.
Hast du mal die ersten Glieder der Folge [mm] a_n [/mm] (mindestens [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_6) [/mm] aufgestellt? Dann dürfte dir schnell ein weiterer Häufungspunkt auffallen.
Gruß Abakus
> oder nicht ...wie muss ich denn jetzt an diese aufgabe
> rangehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
da kommt aber immer Null raus ... hmmm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Sa 19.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht machst du was falsch: Du bildest die Wurzel, dann nimmst du die ganze Zahl und erst dann quadrierst du, wenn du immer null rauskriegst hast du erst quadriert und dann die ganze Zahl gebildet?
Bsp n=2 [mm] [\wurzel{2}]=[1,4..]=1
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
am besten schreibe ich mal auf was ich gerechnet habe
also fuer
n=3
3 - ( [mm] \wurzel{3} )^2
[/mm]
[mm] \wurzel{3} [/mm] = 1,7 [mm] \Rightarrow [/mm] ganze zahl 2
wenn man mit zwei weiterrechnet kommt man dann auf -1.
das habe ich bis n=8 gerechnet.
n=5 [mm] \Rightarrow [/mm] 1
n 6 [mm] \Rightarrow [/mm] 2
n7 [mm] \Rightarrow [/mm] 4
n8 [mm] \Rightarrow [/mm] 5
so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 19.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
"dabei bezeichnet |x| die grosste ganze zahl, die nicht grosser als x ist.
aber 2>1,7
also [mm] 2-[\wurzel{2}]^2=1
[/mm]
[mm] 3-[\wurzel{3}]^2=2
[/mm]
[mm] 5-[\wurzel{5}]^2=1
[/mm]
[mm] 6-[\wurzel{6}]^2=2
[/mm]
usw
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
also haben wir bei eins und zwei weiter Häufungspunkte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 19.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das solltest du nachweisen, erstmal vielleicht experimentell, mit größeren Zahlen, dann ne Begründung. nimm mal 123 dann 1234, dann 5678 und denk dir weitere aus, bis du was findest.Und dan versuch das zu zeigen.
6 Beispiele mit kleinen zahlen sagen ja noch nichts, du musst schon zeigen, dass die 1 immer wieder auftritt! also auf zur Entdeckungsreise!
10001, 10300, 10403,10405 etwa vergleichen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
okay also :
a123= 2
a1001= 40
a10403= 403
a10405= 405
und was sagt mir das jetzt aus?
irgendwie finde ich es gemein, dass man in einer klausur, wo man keine taschenrechner benuten darf solche aufgaben rechnen soll -.-
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> okay also :
>
> a123= 2
>
> a1001= 40
>
> a10403= 403
>
> a10405= 405
>
>
> und was sagt mir das jetzt aus?
>
> irgendwie finde ich es gemein, dass man in einer klausur,
> wo man keine taschenrechner benuten darf solche aufgaben
> rechnen soll -.-
Hallo,
wozu brauchst du einen Taschenrechner?
Es ist [mm] \wurzel{4}=2.
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel{5}=2,...
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel{6}=2,...
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel{7}=2,...
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel{8}=2,...
[/mm]
Da die Zahl n in der Wurzel immer um 1 größer wird, der ganzzahlige Anteil von [mm] \wurzel{n} [/mm] hier aber immer konstant 2 ist (und das Quadrat davon konstant 4 ist), wächst die von dir zu betrachtende Differenz mit jedem Schritt um 1.
Erst bei der Quadratzahl 9 sinkt die Differenz auf Null, um dann von 10 bis 15 um je 1 zu steigen.
Bei 16 ist die Differenz wieder Null, bis 24 nimmt sie die Werte 1, 2, ..., 7, 8 an.
Bei 25 ist die Differenz wieder Null, bis 35 nimmt sie die Werte 1, 2, ..., 9, 10 an. Da der Spaß nach jeder Quzadratzahl von vorn beginnt, gibt es unendlich oft das Ergebnis 0, unendlich oft das Ergebnis 1, unendlich oft das Ergebnis 2, ab n=7 kommt auch zum ersten Mal das Ergebnis 3 (das sich ab jetzt unendlich oft wiederholt)...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
dh anzahl der häufungswerte kann man so nicht nennen.. ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> dh anzahl der häufungswerte kann man so nicht nennen.. ?
Das war ja nicht die Frage. Du solltest alle Häufungspunkte angeben (und nicht, wie viele es gibt).
Ergebnis: Jede nichtnegative ganze Zahl ist ein Häufungspunkt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
kann ich von der vorgehensweise immer so an eine aufgabe rangehen?
in einer anderen altklausur steht eine ähnliche:
(an) n=1 bis [mm] \infty [/mm] mit an= 1/n + sin [mm] \frac{n \pi}{2}
[/mm]
a1=2
a2=0,5
a3=-0,6666666666
a4=0,25
a5=1,2
a6= 0,1666666
a7=-0,857
a8=0,125
a9=1,111111111111
a10=0,1
das einzige was ich da erkenne ist ein wechsel zwischen einem regulären bruch und einem irregulären (periode) ..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> kann ich von der vorgehensweise immer so an eine aufgabe
> rangehen?
>
> in einer anderen altklausur steht eine ähnliche:
>
> (an) n=1 bis [mm]\infty[/mm] mit an= 1/n + sin [mm]\frac{n \pi}{2}[/mm]
>
> a1=2
>
> a2=0,5
>
> a3=-0,6666666666
>
> a4=0,25
>
> a5=1,2
>
> a6= 0,1666666
>
> a7=-0,857
>
> a8=0,125
>
> a9=1,111111111111
>
> a10=0,1
>
> das einzige was ich da erkenne ist ein wechsel zwischen
> einem regulären bruch und einem irregulären (periode) ..
>
>
>
Hallo,
trenne hier mal:
Die Folge 1/n konvergiert bekanntermaßen gegen Null, das heißt, irgendwann sind alle Funktionswerte fast 0 und ändern sich kaum noch.
Die Folge sin [mm][mm] \frac{n \pi}{2} [/mm] ist (1,0,-1,0,1,0,-1,0,...) und wird zur Folge 1/n dazu addiert. Deren Werte (fast alle "ungefähr 0" ) werden jetzt wahlweise mit 1, mit 0 oder mit -1 addiert.
Für diese Ergebnisse ergeben sich nun drei Häufungspunkte: ...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
das ist so offensichtlich :( ich wär da nie drauf gekommen :((((
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
ahso die häufungswerte wären dann:
1/n
1/n +1
1/n -1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> ahso die häufungswerte wären dann:
>
> 1/n
>
> 1/n +1
>
> 1/n -1
>
>
Hallo,
was für eine Zahl ist denn "1/n"???
Die Häufungspunkte sind 0, 1 und -1 !
Gruß Abakus
|
|
|
|
