Häufungspunkte, Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche mir gerade den Zusammenhang der beiden Begriffe "beschränkt" und Häufungspunkte für reelle Folgen klarzumachen. Dazu habe ich folgende Fragen:
1) Wieviele Häufungspunkte kann eine beschränkte Folge höchstens haben?
2) Wie sehen unbeschränkte Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt aus? Ich habe an 1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5... gedacht, weiß aber nicht, wie ich das formal aufschreiben kann. Zählt hierzu auch die Cantorfolge?
3) Gibt es beschränkte Folgen ohne Häufungspunkt?
4) Gibt es unbeschränkte Folgen mit genau einem Häufungspunkt?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich versuche mir gerade den Zusammenhang der beiden
> Begriffe "beschränkt" und Häufungspunkte für reelle
> Folgen klarzumachen. Dazu habe ich folgende Fragen:
>
> 1) Wieviele Häufungspunkte kann eine beschränkte Folge
> höchstens haben?
Du weißt sicher, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, somit ist z:B: $ [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1]= [mm] \{r_1,r_2,r_3, ...\}$
[/mm]
[mm] (r_n) [/mm] ist beschränkt, aber jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] ist Häufungspunkt von [mm] (r_n)
[/mm]
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> 2) Wie sehen unbeschränkte Folgen mit mehr als einem
> Häufungspunkt aus? Ich habe an
> 1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5... gedacht, weiß aber nicht,
> wie ich das formal aufschreiben kann.
Die Schreibweise (1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5... ) ist (für mich) in Ordnung
> Zählt hierzu auch
> die Cantorfolge?
>
> 3) Gibt es beschränkte Folgen ohne Häufungspunkt?
Nein. Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß ?
>
> 4) Gibt es unbeschränkte Folgen mit genau einem
> Häufungspunkt?
Ja, z.b.: (1,0,2,0,3,0,4,0,....)
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> Katrin
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Vielen Dank für deine schnelle Hilfe, jetzt bin ich ein ganzes Stück schlauer.
Zu 1. Stimmt es also, dass eine beschränkte Folge unendlich viele Häufungspunkte hat? Eine solche "Folgenkonstruktion" mit der Schnittmenge hatten wir nicht, aber ich habe die Schreibweise verstanden.
Zu 2. Kann mir noch jemand kurz beantworten, ob auch die Cantorfolge in diese "Kategorie" fällt?
Zu. 3. Stimmt, den Satz hatte ich nicht mehr in Erinnerung.
Zu 4. Darauf hätte ich eigentlich auch von alleine kommen können ;)
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 23.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Zu 1. Stimmt es also, dass eine beschränkte Folge
> unendlich viele Häufungspunkte hat? Eine solche
> "Folgenkonstruktion" mit der Schnittmenge hatten wir nicht,
> aber ich habe die Schreibweise verstanden.
Nicht 'hat', sondern 'haben kann'. Nimm eine Abzählung (Cantor-Folge) der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1.
> Zu 2. Kann mir noch jemand kurz beantworten, ob auch die
> Cantorfolge in diese "Kategorie" fällt?
Wenn du alle (oder alle positiven) rationalen Zahlen abzählst, dann ist die Folge unbeschränkt und hat unendlich viele H.-Punkte.
> Zu. 3. Stimmt, den Satz hatte ich nicht mehr in
> Erinnerung.
Trotzdem Vorsicht: fred hat natürlich als Menge an [mm] \IR [/mm] gedacht, wo sich alles abspielt. (Samaga bestimmt auch.) In [mm] \IQ [/mm] wär das nicht so. Nimm 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ....
> Zu 4. Darauf hätte ich eigentlich auch von alleine kommen
> können ;)
Das denkt man hinterher oft.
Gruß
Dieter
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