Haeufungspunkte&Isolierte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mi 07.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
Bitte helft mir weiter dieses besser zu verstehen.
Man soll in der Aufgabe isolierte Punkte und Haeufungspunkte bestimmen von:
a) (0,1]U{2}
b) [mm] {1/n:n\in\IN}
[/mm]
c) [mm] \IQ
[/mm]
in [mm] \IR
[/mm]
Da ich mir nicht sicher bin ob wir die gleiche Definition haben,
ein Haeufungspunkt ist x wenn:
[mm] x\inA^{d} \Rightarrowx\in \overline{A\{x}} \Rightarrow \forall [/mm] O(x):
[mm] O(x)\cap A\{x}\not=\emptyset
[/mm]
Isolierte Punkt ist x wenn [mm] x\in A\A^{d}
[/mm]
Bei a) habe ich als Haeufungspunkt bekommen: x=0,x=1
Isolierte Punkt ist 2
Ist das richtig?
Bei C) jeder punkt ist haufungspunkt, da Q dicht ist in R
Aber wie macht man das ueberhaupt?
Kann mir jemand an einem Beispiel gruenlich erklaeren wie man das macht?
Bai b) neheme ich an dass 0 ein haeufungspunkt ist, aber ist auch 1?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
Ich danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Irma!
> Bitte helft mir weiter dieses besser zu verstehen.
> Man soll in der Aufgabe isolierte Punkte und
> Haeufungspunkte bestimmen von:
> a) (0,1]U{2}
Hier ist jeder Punkt aus $[0,1]$ Häufungspunkt (da in jeder Umgebung dieser Punkte noch andere Elemente der Menge liegen) und $2$ isolierter Punkt (da es eine Umgebung um $2$ gibt, in der nur $2$ liegt und keine weiteren Elemente der Menge).
> b) [mm]{1/n:n\in\IN}[/mm]
Hier ist $0$ Häufungspunkt, da wegen der Konvergenz von [mm] $\left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $0$ in jeder Umgebung von $0$ von $0$ verschiedene Elemente der Folge liegen. Dagegen ist jeder andere Punkt der Menge isoliert, da man um jeden Punkt eine Umgebung findet, die keine weiteren Punkte der Menge enthält.
> c) [mm]\IQ[/mm]
Alle Punkte aus [mm] $\IR$ [/mm] sind Häufungspunkte. Klar, denn in jeder Umgebung jeder reellen Zahl liegen unendlich viele rationale Zahlen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mi 07.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
Ich danke vielmals fuer die geopferte Zeit und ausfuehrliche Antwort.
Und noch eine Frage, die hier zwar nicht passt:
wann faengt in Deutschland das Wintersemester an? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Fr 09.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
also,
ich denke das bei a) 0 auch ein Haeufungspunkt ist. Also, bei a) ist jeder punkt aus [0,1] ein Haeufungspunkt.
Tschuess
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Irma!
Ja, sorry, das war ein Verschreiber; ich habe es jetzt verbessert.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Sa 10.09.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo Julius!
Müssten die Häufungspunkte von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] nicht ganz [mm] $\IR$ [/mm] sein?
Viele Grüße, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Kristine!
Ja, klar, ich bin bei dieser Aufgabe innerlich immer von der zu untersuchenden Menge als topologischem Raum ausgegangen, aber es war ja so gemeint, dass die Topologie auf [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet werden sollte. Stand ja ganz explizit dabei, das hatte ich wohl überlesen. Ich habe es verbessert, vielen Dank für den Hinweis.
Liebe Grüße
"Julius"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 12.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
Also das verstehe ich jetzt ueberhaupt nicht. Wie koennen alle Punkte aus R Haeufungspunkte sein?
Das stimm doch dann einfach nicht mit der Definition des Haeufungspunktes nicht(die ich am Anfank der Diskussion geschrieben habe).
Ich meine, man betrachtet zwar die Topologie von R, aber Punkte aus Q.
Kann mir das jetzt jemand erklaeren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Di 13.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also das verstehe ich jetzt ueberhaupt nicht. Wie koennen
> alle Punkte aus R Haeufungspunkte sein?
> Das stimm doch dann einfach nicht mit der Definition des
> Haeufungspunktes nicht(die ich am Anfank der Diskussion
> geschrieben habe).
Also ich kann jedenfalls die Definition am Anfang einfach nicht lesen - was soll denn da genau stehen? Was ist [m]A^{d}[/m]?
> Ich meine, man betrachtet zwar die Topologie von R, aber
> Punkte aus Q.
Ja, aber das tust du in den anderen Beispielen auch! Es gibt eigentlich zwei unterschieldiche, richtige Lösungen: die eine besteht darin, die angegebenen Mengen losgelöst von r zu betrachten - also im ersten Beispiel gäbe es die 0 gar nicht, kann also kein Häufungspunkt sein. Dann betrachtet man einfach die vom großen Raum R induzierte Topologie, deh offen ist eine Teilmenge genau dann, wenn sie Schnitt einer offenen Menge in R mit unserer Menge ist.
Die andere Möglichkeit besteht darin, diese Menge als Teilmengen von R aufzufassen, und Häufungspunkt einfach so: falls jede Umgebung von einem Punkt geschnitten mit der Menge nicht leer ist, dann ist es ein HP. Also ist 0 ein HP. Aber bei Q sind es dann sicher alle Zahlöen in R - denn Q liegt ja dicht darin, also in jeder Umgebung eines ejden Pubnktes liegt eine Zahl aus Q.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 14.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
Also, das habe ich jetzt so ziemlich verstanden. Aber etwas interessiert mich noch.
Stellen wir die gleiche Aufgabe aber sei jetzt die Topologie des Sorgenfreis gegeben.
Bei a) sind dann die HP [0,1)
Bei c) ist ganz Q
Was geschieht aber bei b)? Ist da wieder nur die 0 ein HP oder gibt es auch andere?
In sorgenfreis Topologie sind offene Mengen [x,r), wo [mm] r\in \IQ
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 14.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> In sorgenfreis Topologie sind offene Mengen [x,r), wo [mm]r\in \IQ[/mm]
Also alle bisher "halboffene" Intervalle sind jetzt die Basis der Topologie, oder wie soll man das x und das r interpretieren? Das x ist nicht so ganz definiert, und die Einschraenkung von r auf die rationalen Zahlen ist natuerlich nicht wesentlich - man erhaelt sofort auch, das alle Intervalle dieser Form offen sind. Desweitreren sind alle bisher ueblichen offen Intervalle dann auch offen - man kann naemlich die hlaboffenen hereinlegen und dann geschikct die linke Grenze nach aussen wandern lassen.
Ich habe diesen Begriff weder in Wikipedia noch in Google gefunden - woher stammt der?
> Bei a) sind dann die HP [0,1)
Warum das denn? Warum die 1 nicht? Die offenen Intervalle sind immer noch offen.
> Bei c) ist ganz Q
Warum nur Q? Vgl. oben.
> Was geschieht aber bei b)? Ist da wieder nur die 0 ein HP
> oder gibt es auch andere?
Die Topologie ist ja serh ahenlich ... du kannst jeden Punkt, der nicht die 0 ist, von anderne Punkten trennen, kein Problem.
SEcki
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Hallo Irma,
zu deinen weiteren Fragen:
du hast Recht, in a) ist auch die 0 ein Häufungspunkt der Menge! Begründung: z.B. die Folge aus b), sie ist in der Menge enthalten und konvergiert gegen 0.
Hier an der LMU in München fängt das Semester übrigens am 17.Oktober wieder an, d.h. noch 5 Wochen Ferien  Das kann sich aber von Uni zu Uni unterscheiden!
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