Häufungspunkte, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Di 18.01.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Seien f,g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit D(f)=D(g)=D, dann gilt
z [mm] \in [/mm] H(D) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow\z} g(x)=b\not=0 \Rightarrow z\in [/mm] H (D(f/g)).
b) Sei f stetig, [mm] z\in H(D(f))\D(f). [/mm] Dann gilt
f stetig fortsetzbar auf [mm] D(f)\cup \{z\} \gdw [/mm] f besitzt reelen Grenzwert an der Stelle z.
In diesem Fall besitzt f genau eine stetige Fortsetzung f(Welle) auf D(f) [mm] \cup \{z\}, [/mm] nämlich
f(Welle)(x)= f(x), falls x€D(f) und [mm] \limes_{y\rightarrow\z}f(y), [/mm] falls x=z |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Haben diese Aussagen schon in der Vorlesung benutzt und sollen diese jetzt Beweisen oder herleiten. Ich weiß, dass ich eigentlich meine eigenen Gedanken schon mal hier rein schreiben sollte, ich habe nur wirklich keine Ahnung. Wenn ihr mir erklären könntet, wie ich anfangen soll und ungefähr erklärt, wie ich dann weiter vorgehen soll, würdet ihr mir schon sehr helfen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a) ich nehme an. dass H(D) die Menge der Häufungspunkte von D bez.
Es ist D(f/g)= { x [mm] \in [/mm] D: g(x) [mm] \ne [/mm] 0 }
Da z [mm] \in [/mm] H(D), gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in D \ {z} mit : [mm] x_n \to [/mm] z.
Nach Vor. hat man dann: [mm] g(x_n) \to [/mm] b. Da b [mm] \ne [/mm] 0 ist, ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] g(x_n) \ne [/mm] 0 für n [mm] \ge [/mm] N
Damit ist [mm] (x_n)_{n \ge N} [/mm] eine Folge in D(f/g) \ { z } , die gegen z strebt.
Zu b) [mm] \Rightarrow: [/mm] Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow z} [/mm] f(x)= f(z).
[mm] \Leftarrow: [/mm] Setze f(z): = [mm] \limes_{x\rightarrow z} [/mm] f(x) und zeige f ist in z stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 18.01.2011 | | Autor: | Klempner |
Hallo Fred
ich danke dir für deine Ausführungen.
Gruß
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