Häufungsrichtung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 07.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $(z_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der Eigenschaft
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\vert{z_n}\vert=\infty$
[/mm]
Zeige: Es existiert eine Häufungsrichtung, d.h. es gibt eine reelle Zahl [mm] $\alpha$, [/mm] so dass für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] die Teilfolge der Partialsummen [mm] $\sum_{n=1}^{N}z_n$ [/mm] mit Argument in [mm] $]\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon[$ [/mm] eine absolut divergente Teilsumme bilden. |
Hallo an alle,
irgendwie kann ich nicht wirklich nachvollziehen, was dort gemacht werden soll. Die in der Übung damals besprochene Lösung kann ich ebenso wenig nachvollziehen:
Lösung:
Wähle [mm] $\theta$ [/mm] derart (also so groß), dass
[mm] $arg(\sum_{n=1}^{N}z_n)\in[0,\theta]\quad\forall\,N$
[/mm]
Nun halbieren wir [mm] $\theta$:
[/mm]
[mm] $\{N_1\mid arg(\sum_{n=1}^{N_1}z_n)\in[0,\frac{\theta}{2}]\}$
[/mm]
[mm] $\{N_2\mid arg(\sum_{n=1}^{N_2}z_n)\in[\frac{\theta}{2},\theta]\}$
[/mm]
Dann
[mm] $\infty=\sum_{n=1}^{\infty}\vert{z_n}\vert=\lim_{N_1\to\infty}\sum_{n=1}^{N_1}\vert{z_n}\vert+\lim_{N_2\to\infty}\sum_{n=1}^{N_2}\vert{z_n}\vert$
[/mm]
Ende der Lösung
Könnte mir vielleicht irgendjemand den Sachverhalt erläutern?
Vielen Dank schon einmal und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](z_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der
> Eigenschaft
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\vert{z_n}\vert=\infty[/mm]
>
> Zeige: Es existiert eine Häufungsrichtung, d.h. es gibt
> eine reelle Zahl [mm]\alpha[/mm], so dass für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm]
> die Teilfolge der Partialsummen [mm]\sum_{n=1}^{N}z_n[/mm] mit
> Argument in [mm]]\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon[[/mm] eine
> absolut divergente Teilsumme bilden.
> Hallo an alle,
>
> irgendwie kann ich nicht wirklich nachvollziehen, was dort
> gemacht werden soll. Die in der Übung damals besprochene
> Lösung kann ich ebenso wenig nachvollziehen:
>
> Lösung:
> Wähle [mm]\theta[/mm] derart (also so groß), dass
>
> [mm]arg(\sum_{n=1}^{N}z_n)\in[0,\theta]\quad\forall\,N[/mm]
>
> Nun halbieren wir [mm]\theta[/mm]:
>
> [mm]\{N_1\mid arg(\sum_{n=1}^{N_1}z_n)\in[0,\frac{\theta}{2}]\}[/mm]
>
> [mm]\{N_2\mid arg(\sum_{n=1}^{N_2}z_n)\in[\frac{\theta}{2},\theta]\}[/mm]
Nennen wir die erste Menge mal [mm] $I_1$ [/mm] und die zweite [mm] $I_2$.
[/mm]
> Dann
>
> [mm]\infty=\sum_{n=1}^{\infty}\vert{z_n}\vert=\lim_{N_1\to\infty}\sum_{n=1}^{N_1}\vert{z_n}\vert+\lim_{N_2\to\infty}\sum_{n=1}^{N_2}\vert{z_n}\vert[/mm]
Da kann man besser schreiben
[mm]\infty=\sum_{n=1}^{\infty}\vert{z_n}\vert=\lim_{N_1\to\infty \atop N_1 \in I_1}\sum_{n=1}^{N_1}\vert{z_n}\vert+\lim_{N_2\to\infty \atop N_2 \in I_2}\sum_{n=1}^{N_2}\vert{z_n}\vert[/mm]
> Ende der Lösung
Also: da die Summe unendlich ergibt, muss mindestens eine der beiden Grenzwerte unendlich sein. Nehmen wir mal an, dass [mm] $\lim_{N_1\to\infty \atop N_1 \in I_1}\sum_{n=1}^{N_1}\vert{z_n}\vert [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist. Jetzt kannst du das gleiche Spielchen fuer [mm] $[0,\frac{\theta}{2}]$ [/mm] machen: du halbierst das Intervall wieder, einmal in [mm] $[0,\frac{\theta}{4}]$ [/mm] und einmal in [mm] $[\frac{\theta}{4},\frac{\theta}{2}]$. [/mm] Also setze:
[mm]I_{1,1} := \{N_1\mid arg(\sum_{n=1}^{N_1}z_n)\in[0,\frac{\theta}{4}]\}[/mm]
und
[mm]I_{1,2} := \{N_2\mid arg(\sum_{n=1}^{N_2}z_n)\in[\frac{\theta}{4},\frac{\theta}{2}]\}[/mm]
Dann hast du wieder
[mm] $\infty=\lim_{N_1 \to \infty \atop N_1 \in I_1} \sum_{n=1}^N_1 \vert{z_n}\vert=\lim_{N_{1,1}\to\infty \atop N_{1,1} \in I_{1,1}}\sum_{n=1}^{N_{1,1}}\vert{z_n}\vert+\lim_{N_{1,2}\to\infty \atop N_{1,2} \in I_{1,2}}\sum_{n=1}^{N_{1,2}}\vert{z_n}\vert$,
[/mm]
und wieder muss mindestens einer der Grenzwerte [mm] $\infty$ [/mm] sein.
So, und nun kannst du das immer weiter fuehren. Da du die Intervalle halbierst gibt es nach dem Satz von der Intervallschachtelung ein $r [mm] \in [/mm] [0, [mm] \theta]$ [/mm] das in allen diesen Intervallen liegt: dies ist genau das gesuchte!
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Di 07.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Danke, deine Erklärung habe ich sofort verstanden. Verwirrt war ich nur etwas als ich in der Aufgabenstellung den Begriff "Häufungsrichtung" las. Diesen Begriff habe ich vorher nie gehört gehabt. Aber Dank Deines Beweises habe ich nun verstanden, was damit gemeint ist. Danke nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke, deine Erklärung habe ich sofort verstanden.
Schoen :)
> Verwirrt
> war ich nur etwas als ich in der Aufgabenstellung den
> Begriff "Häufungsrichtung" las. Diesen Begriff habe ich
> vorher nie gehört gehabt. Aber Dank Deines Beweises habe
> ich nun verstanden, was damit gemeint ist. Danke nochmal.
Ein Kommentar dazu noch: im allgemeinen gibt es mehrere Haeufungsrichtungen, sobald die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty z_n$ [/mm] nicht konvergiert.
Beispiel: [mm] $z_n [/mm] = [mm] (-1)^n 2^n$. [/mm] Hier sind $0$ und [mm] $\pi$ [/mm] die zwei Haeufungsrichtungen. (Wenn du dir die ersten paar Partialsummen anschaust siehst du das sofort.)
Oder alternativ [mm] $z_n [/mm] = [mm] i^n 2^n$ [/mm] mit $i = [mm] \sqrt{-1}$, [/mm] da wird das ganze noch interessanter und es gibt vier Haeufungsrichtungen (allerdings nicht $0$, [mm] $\pi/2$, $\pi$ [/mm] und [mm] $3\pi/2$ [/mm] -- so einfach ist es nicht).
LG Felix
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