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Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0 und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade Stück des Halbkreises parametrisiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0
> und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade Stück
> des Halbkreises parametrisiert?
Hallo,
wie wäre es denn mit
x(t)=R*cos(t) für [mm]0\le t \le \pi[/mm]
und x(t)=-R+(t-[mm]\pi[/mm]) für [mm]\pi
y(t) wird entsprechend mit dem Sinus gemacht und ist im zweiten Abschnitt konstant Null.
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Geht genauso:
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} R e^{it}, & \mbox{für } t\in [0,\pi] \\ -R+(t- \pi ), & \mbox{für } t\in (\pi,\pi+2R] \end{cases}
[/mm]
2 Fragen hätte ich zu dem Halbkreis.
1) Ist [mm] \gamma [/mm] nullhomotop?
Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies machen würde.
2) Kann man die Windungszahl ausrechnen?
DIe Formel ist:
[mm] Ind_\gamma [/mm] (z)= [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{1}{\epsilon-z} [/mm] d [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] Ind_\gamma [/mm] (z) (0) = 1/(2 [mm] \pi i)*[\int_0^{\pi} \frac{1}{R e^{it}} [/mm] Ri [mm] e^{it} [/mm] dt + [mm] \int_{\pi}^{\pi + 2R} \frac{1}{-R+(t-\pi)} [/mm] ]dt
= [mm] \frac{1}{2 \pi i} (\pi [/mm] i + ln(R)- ln(-R))
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> 1) Ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop?
> Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt
> zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies
> machen würde.
Man kann doch eine stetige lineare Kontraktion nehmen:
[mm] H(t,k)=k*\gamma(t) [/mm] , $\ [mm] 1\ge k\ge0$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Geht genauso:
> [mm]\gamma(t)=\begin{cases} R e^{it}, & \mbox{für } t\in [0,\pi] \\ -R+(t- \pi ), & \mbox{für } t\in (\pi,\pi+2R] \end{cases}[/mm]
>
> 2 Fragen hätte ich zu dem Halbkreis.
> 1) Ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop?
Die Frage ist sinnlos !
Es gehört immer eine Grundmenge dazu !
Z. B. ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop in [mm] \IC.
[/mm]
[mm]\gamma[/mm] ist aber nicht nullhomotop in [mm] \IC [/mm] \ { [mm] i*\bruch{R}{2} [/mm] }
> Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt
> zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies
> machen würde.
>
> 2) Kann man die Windungszahl ausrechnen?
> DIe Formel ist:
> [mm]Ind_\gamma[/mm] (z)= [mm]\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{1}{\epsilon-z}[/mm]
> d [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]Ind_\gamma[/mm] (z) (0) = 1/(2 [mm]\pi i)*[\int_0^{\pi} \frac{1}{R e^{it}}[/mm]
> Ri [mm]e^{it}[/mm] dt + [mm]\int_{\pi}^{\pi + 2R} \frac{1}{-R+(t-\pi)}[/mm]
> ]dt
> = [mm]\frac{1}{2 \pi i} (\pi[/mm] i + ln(R)- ln(-R))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> > Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0
> > und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade
> Stück
> > des Halbkreises parametrisiert?
> Hallo,
> wie wäre es denn mit
> x(t)=R*cos(t) für [mm]0\le t \le \pi[/mm]
> und x(t)=-R+(t-[mm]\pi[/mm])
> für [mm]\pi
> y(t) wird entsprechend mit dem Sinus
> gemacht und ist im zweiten Abschnitt konstant Null.
>
Hallo,
mir ist für die y-Koordinate noch eine Version eingefallen, die ohne Fallunterscheidung auskommt:
y(t)=0,5*R*sin(t) + abs(0,5*R*sin(t)) mit t von 0 bis [mm] $2*\pi$.
[/mm]
Die x-Koordinate ist dann einheitlich x(t)=cos(t).
Gruß Abakus
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