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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 Mo 23.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Eine Funktion [mm] f:X\rightarrow \IR [/mm] auf denm topologischen Raum X heißt halbstetig von unten(bzw. von oben), wenn für jedes c [mm] \in \IR [/mm] die Menge [mm] \{x\in X: f(x)>c\} [/mm] (bzw. [mm] \{x \in X:f(x)
ZZ.: Eine Funktion [mm] f:X\rightarrow \IR [/mm] ist stetig genau dann wenn f halbstetig von oben und von unten ist. |
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Da das Urbild von offenen Mengen offen ist unter der stetigen Funktion f folgt:
[mm] ]-\infty, [/mm] c[ offen [mm] \rightarrow f^{-1}(]-\infty,c[)=\{x\inX : f(x) < c\} [/mm] offen
]c, [mm] \infty[ [/mm] offen [mm] \rightarrow f^{-1}(]c,\infty[)=\{x\inX : f(x) > c\} [/mm] offen
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Ich hatte den Ansatz zuzeigen, dass das Urbild von offenen Mengen wieder offen ist.
Dazu hab ich einen Beweis aus einer Aufgabe die aber nicht zu der Vorlesung gehört hervorgekrammt, dass W offen in [mm] \IR \gdw [/mm] W (höchstens) abzählbare Vereinigung offener disjunkter Intervalle. Wir haben das dort mittels einer eingeführten Äquivalenzrelation gezeigt: x~y [mm] \gdw \exists [/mm] offenes Interval I: [mm] \{x\},\{y,\} \in [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] W. Und dann gesehen, dass die Äquivalenzklassen offener Intervalle sind.
[mm] f^{-1}(\bigcup_{x\in \IQ} (a(x),b(x))=\{x\in X: f(x) \in \bigcup_{x\in \IQ} (a(x),b(x))\} =\{ x \in X: \exists x_j \in \IQ: f(x)> a(x_j) \wedge f(x)
offen als Vereinigung zweier offener Mengen.
Würde das so passen?
Allerdings war ich noch auf der Suche nach einen Alternativweg ohne, dass man alle offenen Mengen der reellen Zahlen kennen muss.
Bei Wikipedia wird eine andere Definitiion von Ober/Unter-halbstetig geliefert:
"Sei X ein topologischer Raum, x in X und f: X [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine reellwertige Funktion. f heißt in [mm] x_0 [/mm] oberhalbstetig, wenn für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] existiert, so dass f(y) < [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] für alle y in U gilt."
Wir haben stetigkeit in einen topologischen Raum z.B mittels Umgebungen definiert:Die Abbildung [mm] f:X\to [/mm] Y heißt stetig in x, wenn für jede Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x existiert, so daß [mm] f(U)\subseteq [/mm] V.
D.h. im Bsp. [mm] f:X\rightarrow \IR
[/mm]
Für alle Umgebungen I von f(x), was offene Intervalle sind (muss ich dass zeigen??), [mm] \exists [/mm] Umgebung U von x: f(U) [mm] \subseteq [/mm] I
Aber warum muss [mm] I=(f(x)-\epsilon, f(x)+\epsilon) [/mm] so punktsymmetrisch um f(x) liegen?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 25.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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