Halbwertzeit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | | Kalium 40 hat eine Halbwertzeit von 1,28 * [mm] 10^{9} [/mm] wielange von heute an gerechnet dauert es bis aus 100mg nur noch 10mg übrig sind? |
Kann mir jemand die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben erklären.
Danke für eure Hilfe
Gruß Beliar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Kalium 40 hat eine Halbwertzeit von 1,28 * [mm]10^{9}[/mm] wielange
> von heute an gerechnet dauert es bis aus 100mg nur noch
> 10mg übrig sind?
Hallo Beliar. Wenn man 80 Frageartikel hat, sollte man schon wissen, dass eine Begrüßung hier immer positive Gefühle weckt!
> Kann mir jemand die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben
> erklären.
Die Frage ist eigentlich relativ anspruchsvoll, für 8-10 Klasse.
Ich würde dir mal empfehlen, den Artikel von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia zu lesen.
Die Hauptaussage sind eigentlich, dass die Funktion für die Anzahl der noch bestehenden Kerne
[mm] N=N_0*e^{-\lambda*t}
[/mm]
lautet, und die Halbwertszeit sich durch
[mm] T_h [/mm] = [mm] \bruch{ln(2)}{\lambda}
[/mm]
Und mit diesem Wissen, müsstest du die Funktion auch schon aufstellen können.
> Danke für eure Hilfe
> Gruß Beliar
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Beliar |
Entschuldigung, Guten Abend hab ich vergessen. Also ich war schon bei Wiki. Wir haben die Aufgabe zusammen mit der Ratten Aufgabe bekommen,und da wir zur Zeit Expontetial Funktionen machen dachte ich das läst sich auch mit einer solchen Lösen. Denn Wiki ist leider im Moment nicht der richtige Weg. Muss sich irgend wie mit einer Expontential FK lösen lassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Entschuldigung, Guten Abend hab ich vergessen. Also ich war
> schon bei Wiki. Wir haben die Aufgabe zusammen mit der
> Ratten Aufgabe bekommen,und da wir zur Zeit Expontetial
> Funktionen machen dachte ich das läst sich auch mit einer
> solchen Lösen. Denn Wiki ist leider im Moment nicht der
> richtige Weg. Muss sich irgend wie mit einer Expontential
> FK lösen lassen.
Moin.
Also eine Exponentialfunktion sieht ja im Ansatz irgendwie so aus:
I f(x) = [mm] A*b^{x}
[/mm]
oder
II f(x) = [mm] a*e^{c*x}
[/mm]
Betrachten wir mal nur das zweite. So haben wir in der Physik eben nicht "das x", sondern t als Zeit.
Daraus folgt
f(t) = [mm] a*e^{c*t}
[/mm]
Und nun vergleich das mal mit der Formel für die Anzahl der Kerne:
$ [mm] N=N_0\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} [/mm] $
(Das N ist eigentlich nichts weiter als ein N(t), eine physikalische Umschreibung für f(x) ).
Das [mm] N_0 [/mm] ist unsere Variable a und das c wird durch den wahnsinnig wichtigen Ausdruck [mm] \lambda [/mm] ersetzt.
Die Halbwertszeit lässt sich beschreiben durch die Formel
$ [mm] T_h [/mm] $ = $ [mm] \bruch{ln(2)}{\lambda} [/mm] $
Interessanterweise ist dieses [mm] T_h [/mm] gegeben: $1,28 * [mm] 10^{9} [/mm] $
(blind würde ich mal auf Jahre setzen)
Daraus ergibt sich mit der Formel
$ 1.28 * [mm] 10^{9} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{ln(2)}{\lambda} [/mm] $
Das ganze kann man nun nach [mm] \lambda [/mm] umstellen und in die Funktion
$ [mm] N=N_0\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} [/mm] $
einsetzen.
Als Alternative würde ich nennen können, dass du beispielsweise 100 bestehende Kerne hast. Und diese halbieren sich im Bestand nach einer Zeit von 1.28 * [mm] 10^{9} [/mm] (Ergibt sich ja aus der Definition der Halbwertszeit). Sodass man dann eigentlich zwei Punkte hat, durch die man eine Exponentialfunktion aufstellen kann. Ist wahrscheinlich das einfachere Vorgehen. Also, zwei Punkte
A(0|100)
B(1.28 * [mm] 10^{9}|50)
[/mm]
Und nun kannst du eine Exponentialfunktion aufstellen.
Viele Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Beliar |
Nee, komme damit nicht klar muss ich morgen in der Schule abklären.
Danke Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Nee, komme damit nicht klar muss ich morgen in der Schule
> abklären.
> Danke Beliar
Was verstehst du denn daran nicht?
Wo die Punkte herkommen oder was man damit machen muss?
Ich versuchs noch mal, möchte aber trotzdem gerne wissen, wo meine Erklärungen mangelhaft waren.
Also, wir haben ein Element, nämlich Kalium 40 (Die 40 ist wohl die Massenzahl - aber unwichtig für die Aufgabe). Dieses Element ist radioaktiv und somit instabil. D. h. der Kern (oder auch) des Atoms zerfällt nach einer bestimmten Zeit. Nun gibt es in der Physik etwas besonderes, das nennt sich Halbwertzeit. Diese Halbwertszeit "muss" man messen. D. h. zunächst betrachtet man NUR Kalium (oder sonstige Elemente). Hierbei stellt man dann die Anzahl der Kerne am Anfang fest. Gehen wir von dem fiktiven Wert 100 aus.
Nun wartet man eine gewisse Zeit, die Halbwertszeit, bis man feststellt, dass nur noch 50 Kerne vorhanden sind. Und diese Halbwertszeit gibt nun also die Dauer an, wie lange musste ich messen, bis von 100 Kernen die Hälfte, also 50 Kerne, übrig geblieben sind. In unserem Fall ist die Halbwertszeit 1,28 * $ [mm] 10^{9} [/mm] $. (Hier fehlt jetzt bedauerlicher Weise die "Einheit", obs Jahre sind oder Tage etc -> Für das Messen der Halbwertszeit sind also einige Arbeitsstunden notwendig  )
Und nun brauchen wir eben in der Physik, oder auch in der Mathematik, eine Funktion, die den Zerfall der Kerne darstellt.
In der Mathematik nimmt man einfach die interessante Exponentialfunktion. Am besten noch mit der eulerschen Zahl, das sieht komplizierter aus.
f(x) = [mm] A*e^{k*x}
[/mm]
Diese funktion kann man errechnen, wenn man ZWEI Punkte hat, da wir zwei Unbekannte (A und k) haben. Es ist das selbe wie bei einer Parabel, die durch drei Punkte läuft.
Nun Wissen wir dank unserer Messung, dass der Anfangswert bei unserer Messung von Kalium eben 100 Kerne waren -> zum Zeitpunkt 0.
P (0|100)
f(0) = 100
100 = = [mm] A*e^{k*0} [/mm] => A=100
Es ergibt sich die neue Funktionsgleichung
f(x) = [mm] 100*e^{k*x}
[/mm]
Nun wissen wir, dass nach einer bestimmten Zeit, nur noch 50 Kerne vorhanden sind. Diese Zeit war x=1,28 * $ [mm] 10^{9}.
[/mm]
Also haben wir auch noch einen zweiten Punkt, nämlich [mm] P_2(1,28 *10^{9}|50)
[/mm]
Auch den setzen wir ein:
f(1,28 [mm] *10^{9}) [/mm] = 50
[mm] 50=100*e^{k*1,28 *10^{9}}
[/mm]
Das muss man dann mit dem Logarithmus auflösen, dann bekommst du ein k und hast die Funktionsgleichung.
Sind nun alle Wissensmängel ausgemerzt? Ich gab mir jedenfalls Mühe!
Viele Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Beliar |
Die Erklärung kann ich teilweise nach vollziehen, aber Logarithmus ist für mich völlig neu(unbekannt) das andere Problem ist die Umsteztung in eine Form die mir vertraut ist. Da tu ich mich ein wenig schwer. In einem meiner Bücher wird das so beschrieben:
y= b * [mm] 0,5^{x} [/mm] mit x = [mm] \bruch{t}{ t_{h}}
[/mm]
jetzt habe ich ja die 100mg und die 10mg desweiteren die Halbwertzeit
ich habe versucht die zeit neu zu berechen hätte aber als Anfangszeit mit 0 dividieren müssen was nicht geht.Da kommt eine Frage nach der anderen auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Do 19.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Die Erklärung kann ich teilweise nach vollziehen, aber
> Logarithmus ist für mich völlig neu(unbekannt) das andere
> Problem ist die Umsteztung in eine Form die mir vertraut
Oups, dann weißte wohl auch nicht, was das "e" bedeutet. Das war dann wohl zu kompliziert .
> ist. Da tu ich mich ein wenig schwer. In einem meiner
> Bücher wird das so beschrieben:
> y= b * [mm]0,5^{x}[/mm] mit x = [mm]\bruch{t}{ t_{h}}[/mm]
> jetzt habe ich
Hättest du das mal eher gesagt. In dem Fall wäre es so, dass du für b den Anfangswert nimmst => b=100
0,5 bleibt immer da, aber für x setzt du den Term einfach ein.
y= 100 [mm] *0.5^{\bruch{t}{ t_{h}}}
[/mm]
Das [mm] T_h [/mm] ist bekannt, nämlich [mm] t_h=1,28 [/mm] * [mm] 10^{9}
[/mm]
Eingesetzt ergibt das
y= 100 [mm] *0.5^{\bruch{t}{1,28 * 10^{9}}}
[/mm]
Das t ist eigentlich gleichwertig mit dem altbekannten x. Es steht in diesem Fall halt nur für time/Zeit.
Aber das wirst du wahrscheinlich jetzt schon wissen.
> ja die 100mg und die 10mg desweiteren die Halbwertzeit
> ich habe versucht die zeit neu zu berechen hätte aber als
> Anfangszeit mit 0 dividieren müssen was nicht geht.Da kommt
> eine Frage nach der anderen auf.
Sorry, dann bin ich etwas zu kompliziert auf Grund des Missverständnisses rangegangen.
In diesem Sinne: mfG
Disap
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