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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 18.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Grüß euch! Wir haben für das nächste Proseminar eine Differentialgleichung zu lösen. Das Problem ist, dass dieses Thema in der Analysis 2-Vorlesung nur am Rande durchgenommen wurde. Daher bitte ich euch, mir zu erklären, wie man folgende Diff.gleichung am besten löst:
m*s''(t)=k*s(t) (m,k>0), s(0)=1, s'(0)=-1.
Bin für jede Hilfe dankbar.
lg Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 18.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Kann hier wirklich keiner Diff.gleichungen lösen? Lg
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> Daher bitte ich euch, mir zu erklären,
> wie man folgende Diff.gleichung am besten löst:
>
> m*s''(t)=k*s(t) (m,k>0), s(0)=1, s'(0)=-1.
Hallo,
nachlesen kannst Du es mit Beweis und allem Drum und dran in Büchern unter "lineare DGL mit konstanten Koeffizienten".
Es geht so:
> m*s''(t)=k*s(t)
<==> m*s''(t)-k*s(t) =0
[mm] <==>s''(t)-\bruch{k}{m}*s(t) [/mm] =0 (*)
Nun bestimmt man die Lösungen von
[mm] D^2-\bruch{k}{m}=0 [/mm] (In (*) wird die n-te Ableitung von s durch [mm] D^n [/mm] ersetzt)
[mm] ==>D=\wurzel{\bruch{k}{m}} [/mm] oder [mm] D=-\wurzel{\bruch{k}{m}}
[/mm]
Das sagt Dir, daß [mm] \varphi_1(x)=e^{\wurzel{\bruch{k}{m}}x} [/mm] und [mm] \varphi_2(x)=e^{-\wurzel{\bruch{k}{m}}x} [/mm] ein Fundamentalsystem von lösungen bilden.
Jede Lösung der DGL hat die Gestalt
[mm] \varphi (x)=Ae^{\wurzel{\bruch{k}{m}}x}+Be^{-\wurzel{\bruch{k}{m}}x}
[/mm]
Durch Verwursten der beiden Nebenbedingungen kannst Du jetzt A und B berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 18.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Vielen Dank! Deine Ausführungen und Erklärungen sind wirklich immer sehr hilfreich. Nur noch 2 Fragen:
-Wohin verschwindet s(t) in (*)?
-Wie kommst du dann auf die Lösungen mit der eulerschen Zahl und warum bilden die ein 'Fundamentalsystem'?
Ich weiß, das waren eigentlich 3 Fragen, hoffe du hilfst mir trotzdem :)! Lg
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> -Wohin verschwindet s(t) in (*)?
s(t) ist ja gar nicht abgeleitet, also 0-mal abgeleitet und wird zu [mm] D^0=1.
[/mm]
> -Wie kommst du dann auf die Lösungen mit der eulerschen
> Zahl
Weil ich weiß, daß das so geht.
> und warum bilden die ein 'Fundamentalsystem'?
Die genauen Gründe lies bitte im Buch nach.
Zum Fundamentalsystem ein Hinweis: das ist so ähnlich wie beim Lösen homogener linearer Gleichungen. Hast Du linear unabhängige Lösungsvektoren gefunden, so lösen auch sämtliche Linearkombinationen das System.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 18.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Ok, danke erstmals. Werd mir das mal genauer anschauen. Lg
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