Hauptachsentransformat. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Hab folgendes Problem
Bringen sie die Kurve [mm] K(x,y)=7x^{2}+5y^{2}-2\wurzel{3}xy-1=0 [/mm] auf Hauptachsenform.
[mm] x^{tr}Ax=q(x)
[/mm]
[mm] x^{tr} \pmat{ 7 & -\wurzel{3}\\ -\wurzel{3}& 5}x=1
[/mm]
Eigenwerter von A
[mm] \lambda_{1}=8 \lambda_{2}=4
[/mm]
Eigenvektoren zu [mm] \lambda_{1}=8 [/mm]
[mm] -x_{1}-\wurzel{3}x_{2}=0
[/mm]
[mm] -\wurzel{3}x_{1}-3x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=t* \vektor{-\wurzel{3}\\ 1}
[/mm]
Eigenvektoren zu [mm] \lambda_{2}=4 [/mm]
[mm] 3x_{1}-\wurzel{3}x_{2}=0
[/mm]
[mm] -\wurzel{3}x_{1}-x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=t* \vektor{1\\ -\wurzel{3}}
[/mm]
jetzt orthogonalisieren
x´=[ [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ -\wurzel{3}& 1\\ 1& -\wurzel{3}}]^{-1}x
[/mm]
die Kurve sieht dann so aus
4x´^{2}+8y´^{2}=1
jetzt steht noch bestimmen Sie explizit die orthonormale Matrix S wie kommt man auf die ??
stimmt die obige Transformation??
Danke Stevo
|
|
| |
|
Hallo Stevo,
bei den EV habe ich das selbe raus.
Jetzt musst du deine Eigenvektoren orthonormieren d.h. auf Länge 1 bringen so dass die Vektoren orthogonal aufeinander sind . Diese orthonormalen EV sind dann die Spalten der Matrix S.
Gruß
Alex
|
|
|
| |
|
Hallo
Hab ich das nicht schon mit dem Eigenvektor* [mm] \bruch{1}{2} [/mm] erledigt.
Dann ist S also die Transformationsmatrix um von x auf x´zu kommen
Mich wundert nur das hier steht Bestimmen Sie explizit die dabei auftretende orthonormale Matrix S. Und die muss ich ja immer explizit ausrechnen sonst kann ich die Transformation gar nicht ausführen.
Ist die Matrix S auch wirklich nur die orthonormierte Matrix aus den Eigenvektoren???
Danke Stevo
|
|
|
| |
|
Hallo stevarino,
> Hallo
>
> Hab ich das nicht schon mit dem Eigenvektor* [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> erledigt.
In der Tat mit dem Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] werden die Beträge der Eigenvektoren normiert, also 1.
> Dann ist S also die Transformationsmatrix um von x auf
> x´zu kommen
>
> Mich wundert nur das hier steht Bestimmen Sie explizit die
> dabei auftretende orthonormale Matrix S. Und die muss ich
> ja immer explizit ausrechnen sonst kann ich die
> Transformation gar nicht ausführen.
> Ist die Matrix S auch wirklich nur die orthonormierte
> Matrix aus den Eigenvektoren?
Ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo stevarino,
>
> Hab folgendes Problem
> Bringen sie die Kurve
> [mm]K(x,y)=7x^{2}+5y^{2}-2\wurzel{3}xy-1=0[/mm] auf
> Hauptachsenform.
>
> [mm]x^{tr}Ax=q(x)[/mm]
>
> [mm]x^{tr} \pmat{ 7 & -\wurzel{3}\\ -\wurzel{3}& 5}x=1[/mm]
>
> Eigenwerter von A
> [mm]\lambda_{1}=8 \lambda_{2}=4[/mm]
>
> Eigenvektoren zu [mm]\lambda_{1}=8[/mm]
> [mm]-x_{1}-\wurzel{3}x_{2}=0[/mm]
> [mm]-\wurzel{3}x_{1}-3x_{2}=0[/mm]
> [mm]x_{1}=t* \vektor{-\wurzel{3}\\ 1}[/mm]
>
> Eigenvektoren zu [mm]\lambda_{2}=4[/mm]
> [mm]3x_{1}-\wurzel{3}x_{2}=0[/mm]
> [mm]-\wurzel{3}x_{1}-x_{2}=0[/mm]
> [mm]x_{2}=t* \vektor{1\\ -\wurzel{3}}[/mm]
>
> jetzt orthogonalisieren
>
> x´=[ [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ -\wurzel{3}& 1\\ 1& -\wurzel{3}}]^{-1}x[/mm]
>
> die Kurve sieht dann so aus
> 4x´^{2}+8y´^{2}=1
>
> jetzt steht noch bestimmen Sie explizit die orthonormale
> Matrix S wie kommt man auf die ??
>
> stimmt die obige Transformation??
Nein, denn die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix sind automatisch orthogonal.
Es handelt sich hier um einen Vorzeichenfehler.
Der zweite Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda\;=\;4[/mm] muß
[mm]x_{2}=t* \vektor{1\\ \wurzel{3}}[/mm]
lauten.
Schreibst Du die Eigenwerte in die Matrix S wie sie berechnet wurden, also [mm]S\;=\;(x_{1},\;x_{2})[/mm], so sieht die Kurve dann so aus:
[mm]8\;x'^{2}+4y'^{2}=1[/mm]
Werden die Eigenwerte jedoch in umgedrehter Reihenfolge in die Matrix S geschrieben ([mm]S\;=\;(x_{2},\;x_{1})[/mm]), so stimmt die Kurve, die Du angegeben ist ueberein.
Wie Du das machst ist ja egal, es kommt letztendlich auf den Typ der Kurve an.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
