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Hauptachsentransformation: euklidische Nromalenform
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Sa 01.03.2008
Autor: Slartibartfast

Aufgabe
[mm] $Q=\{(x_1 , x_2 , x_3 )\in\IR^3 | -x_1^2 +x_3^2 +4x_1 x_2-4x_2 x_3 +\bruch{8}{3}x_1+\bruch{10}{3}x_2-\bruch{4}{3}x_3+\bruch{1}{3}=0\}$ [/mm]

Hallo zusammen,

ich will og Quadrik in die euklidische Normalenform überführen. Dazu berechne ich die Transformationsmatrix über die Eigenvektoren - was ich auch hinbekommen habe.

[mm] $T=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 }$ [/mm]

Nun geht es mit folgender Gleichung weiter:

[mm] $\vec{y}^T (T^{-1} [/mm] A [mm] T)\vec{y}+2(T^{-1} \vec{a})\vec{y}+c=0 [/mm] $ (*)

Hier liegt mein Problem. Ich bekomme einfach nicht den Ausdruck [mm] $(T^{-1} [/mm] A T)$ hin. Es soll ja auch den Fall geben, bei dem man [mm] $T^{-1}$ [/mm] mit [mm] $T^T$ [/mm] ersetzen darf - oder gar einer Matrix D mit den Eigenwerten von A als Spur und den Rest voller 0en. Wann ist das so?
Jedenfalls komme ich, egal wie ich es rechne, nicht auf die gewünschte Form von

[mm] $3y_1^2 -3y_2^2 +4y_1 +2y_3 +\bruch{1}{3}=0$ [/mm]

Weiter:

[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}} \wedge [/mm] c = [mm] \bruch{1}{3} \wedge A=\pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 }$ [/mm]

In meinen Aufschrieben steht, dass
[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}}$ [/mm]
sein soll, da würde sich das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aber wieder mit dem Faktor 2 aus Gl. (*) rauskürzen.

Ich bin leicht verzweifelt.


Danke für Hilfe
Grüße
Slartibartfast


        
Bezug
Hauptachsentransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Sa 01.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Slartibartfast,

> [mm]Q=\{(x_1 , x_2 , x_3 )\in\IR^3 | -x_1^2 +x_3^2 +4x_1 x_2-4x_2 x_3 +\bruch{8}{3}x_1+\bruch{10}{3}x_2-\bruch{4}{3}x_3+\bruch{1}{3}=0\}[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich will og Quadrik in die euklidische Normalenform
> überführen. Dazu berechne ich die Transformationsmatrix
> über die Eigenvektoren - was ich auch hinbekommen habe.
>  
> [mm]T=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 }[/mm]
>  
> Nun geht es mit folgender Gleichung weiter:
>  
> [mm]\vec{y}^T (T^{-1} A T)\vec{y}+2(T^{-1} \vec{a})\vec{y}+c=0[/mm]
> (*)
>  
> Hier liegt mein Problem. Ich bekomme einfach nicht den
> Ausdruck [mm](T^{-1} A T)[/mm] hin. Es soll ja auch den Fall geben,
> bei dem man [mm]T^{-1}[/mm] mit [mm]T^T[/mm] ersetzen darf - oder gar einer
> Matrix D mit den Eigenwerten von A als Spur und den Rest
> voller 0en. Wann ist das so?
>  Jedenfalls komme ich, egal wie ich es rechne, nicht auf
> die gewünschte Form von
>
> [mm]3y_1^2 -3y_2^2 +4y_1 +2y_3 +\bruch{1}{3}=0[/mm]

Es muss auch gerechnet werden: [mm]T^{T}*A*T=\left(T^{T}*A\right)*T=T^{T}*\left(A*T\right)[/mm]

Demnach lautet die Gleichung:
[mm]\vec{y}^T (T^{T} A T)\vec{y}+2(T^{T} \vec{a})\vec{y}+c=0[/mm]

Dann kommt auch das gewünschte heraus.

>  
> Weiter:
>  
> [mm]\vec{a} = \vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}} \wedge c = \bruch{1}{3} \wedge A=\pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 }[/mm]
>  
> In meinen Aufschrieben steht, dass
> [mm]\vec{a} = \bruch{1}{2}\vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}}[/mm]
>  
> sein soll, da würde sich das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] aber wieder mit
> dem Faktor 2 aus Gl. (*) rauskürzen.
>
> Ich bin leicht verzweifelt.
>  
>
> Danke für Hilfe
>  Grüße
>  Slartibartfast
>  

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Hauptachsentransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 So 02.03.2008
Autor: Slartibartfast

Erstmal vielen Dank, ich bin jetzt auch auf das gesuchte Ergebnis gekommen - aber warum darf ich [mm] $T^{-1}=T^{T}$ [/mm] setzen? Und wann gilt der Fall [mm] $(T^{-1}AT)=D=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }$ [/mm]

Und was ist mit dem [mm] $\bruch{1}{2}*2$ [/mm] bei [mm] $T^{T}*\vec{a}$ [/mm]

??

Gruß
Slartibartfast

Bezug
                        
Bezug
Hauptachsentransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 02.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Slartibartfast,

> Erstmal vielen Dank, ich bin jetzt auch auf das gesuchte
> Ergebnis gekommen - aber warum darf ich [mm]T^{-1}=T^{T}[/mm]
> setzen? Und wann gilt der Fall [mm](T^{-1}AT)=D=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }[/mm]

Hier darf man [mm]T^{-1}=T^{T}[/mm] setzen, weil die Matrix T eine orthonormale Matrix ist.Demnach hast Du Dich wahrscheinlich bei der Berechung von [mm]T^{-1}[/mm] vertan.

>  
> Und was ist mit dem [mm]\bruch{1}{2}*2[/mm] bei [mm]T^{T}*\vec{a}[/mm]

Nach den Aufschrieben ist [mm]x^{T}*A*x+2*a^{T}*x+d=0[/mm]

Andererseits haben wir: [mm]x^{T}*A*x+u^{T}*x+d=0[/mm]

Wenn nun laut Skript [mm]\overrightarrow{a}=\bruch{1}{2}*\overrightarrow{u}[/mm] ist und ich das in die Gleichung nach den Aufschrieben einsetze, habe ich eine Gleichung,  die identisch mit der darunterstehenden ist.

Richte Dich also immer nach den Aufschrieben.

>  
> ??
>  
> Gruß
>  Slartibartfast

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Hauptachsentransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 So 02.03.2008
Autor: Slartibartfast

Dankeschön, dann hoffe ich mal, dass morgen eine Quadrik drankommt.

Gruß
Slartibartfast

Bezug
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