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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 21.03.2005 | | Autor: | beni |
Hallo!
ich hab da ein bsp, bei dem ich mir nicht sicher bin, ob mein lösungsansatz stimmt:
Die folgende Fläche 2. Ordnung ist auf Hauptachsenform zu bringen und zu diskutieren (hier ist auch eine Translation erforderlich).
[mm] f(\vec{a})=(2x^{2}+5y^{2}+11z^{2}+20xy+4xz-16yz)+(36x-36z)=9
[/mm]
also [mm] f(\vec{a})=\vec{x}^{T}A\vec{x}+\vec{a}^{T}\vec{x}=9 [/mm] mit A, und [mm] \vec{a}=\vektor{36 \\ 0 \\ -36}.
[/mm]
Das heißt ich suche jetzt eine äquivalente Diagonalmatrix zur Matrix A, die die Fläche in der Hauptachse beschreibt.
Der Term [mm] \vec{a}^{T}\vec{x} [/mm] beschreibt - wenn ich mich nicht irre - nur eine Verschiebung der Kurve vom Nullpunkt, kann also weggelassen werden.
Ich erhalte für [mm] A=\pmat{ 2 & 10 & 2 \\ 10 & 5 & -8 \\ 2 & -8 & 11 }
[/mm]
Die Eigenwerte sind
{9,-9,18}
Die zugehörigen Eigenvektoren [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}, \vektor{-2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Ich erhalte nun eine orthogonale Matrix [mm] S=\bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
sodass gilt [mm] S^{T}AS=B [/mm] wobei B eine Diagonalmatrix ist, mit den Eigenwerten in der Hauptdiagonale.
Für die Fläche in Hauptlage ergibt sich schlussendlich [mm] x^{2}-y{2}+2z^{2}-1=0.
[/mm]
Ist dieser Lösungsweg korrekt?
Handelt es sich um ein einschaliges oder ein zweischaliges Hyperboloid?
Was kann man bei der Fläche groß diskutieren?
Danke!!
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Hallo,
der Lösungsweg ist richtig. Nur müssen auch die linearen Glieder mit berücksichtigt werden.
Es kann ja auch sein, daß sich eine Gleichung eines Kegels ergibt.
Hier handelt es sich um ein einschaliges Hyperboloid.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 22.03.2005 | | Autor: | beni |
> der Lösungsweg ist richtig. Nur müssen auch die linearen
> Glieder mit berücksichtigt werden.
dumme frage, aber welche linearen glieder müssen berücksichtigt werden?
ach ja, nochwas: was könnte man an der fläche diskutieren, außer die form?
danke jedenfalls, gruß
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Hallo beni,
nun da hat sich eine Transformationsmatrix ergeben, die auf die ganze Gleichung angewendet werden muß:
[mm]x^{T} \;A\;x\; + \;a^{T} \;x\; + \;d\; = \;0[/mm]
Ist B die Tranformationsmatrix, so gilt:
[mm]x\; = \;B\;x'[/mm]
Eingesetzt in die Gleichung ergibt:
[mm]x'^{T} \;\left( {B^{T} \;A\;B} \right)\;x'\; + \;a^{T} \;B\;x'\; + \;d\; = \;0[/mm]
Durch die Koordinatenverschiebung, welche noch durchzuführen ist, kann sich die Art der Quadrik änderen.
Es sind zum Beispiel die Vorzeichen vor den Quadraten zu diskutieren. Auch entscheidet das Absolutglied um welche Art von Mittelpunktsquadrik es sich handelt. Ergibt sich für das Absolutglied 0, so handelt es sich um einen Kegel, ist das Absolutglied kleiner 0, so handelt es sich um eine echte Mittelpunktsquadrik.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 25.03.2005 | | Autor: | beni |
> Ist B die Tranformationsmatrix, so gilt:
>
> [mm]x\; = \;B\;x'[/mm]
>
> Eingesetzt in die Gleichung ergibt:
>
> [mm]x'^{T} \;\left( {B^{T} \;A\;B} \right)\;x'\; + \;a^{T} \;B\;x'\; + \;d\; = \;0[/mm]
Wie bestimme ich mir dann die Matrix B?
ohne translation kann man ja die Eigenwerte der Matrix A bestimmen, die Matrix S die sich dann ergiebt beschreibt die Drehung.
allerdings kann man ja nicht automatisch S=B setzen.
eine langwierige möglichkeit wäre - denke ich - die Matrix B mit 9 variablen anzunehmen, in obige gleichung einsetzen und das gleichiungssystem zu lösen.
gibts auch einen kürzeren lösungsweg?
danke
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Hallo,
> Wie bestimme ich mir dann die Matrix B?
> ohne translation kann man ja die Eigenwerte der Matrix A
> bestimmen, die Matrix S die sich dann ergiebt beschreibt
> die Drehung.
> allerdings kann man ja nicht automatisch S=B setzen.
> eine langwierige möglichkeit wäre - denke ich - die Matrix
> B mit 9 variablen anzunehmen, in obige gleichung einsetzen
> und das gleichiungssystem zu lösen.
> gibts auch einen kürzeren lösungsweg?
>
Die Matrix B berücksichtigt keinerlei Translation.
Die Translation bekommst Du, wenn Du die linearen Glieder betrachtest.
Um die Translation zu ermitteln, wendet man das Verfahren der "Quadratischen Ergänzung" an.
Beispiel:
[mm]
\begin{gathered}
a\;x^2 \; + \;b\;x\; + \;c \hfill \\
= \;a\;\left( {x^2 \; + \;\frac{b}
{a}\;x\; + \;\frac{c}
{a}} \right) \hfill \\
= \;a\;\left( {\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a^2 }}\; + \;\frac{c}
{a}} \right) \hfill \\
= \;a\;\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; + \;\frac{{4\;a\;c\; - \;b^2 }}
{{4\;a}} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
> danke
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 26.03.2005 | | Autor: | beni |
aber wir suchen doch eine Matrix B, die sowohl eine drehung als auch eine translation beschreibt, so dass
[mm] \vec{x}^T(B^{-1}AB)\vec{x}+\vec{a}^{T}B\vec{x}+d=0
[/mm]
die Fläche in Hauptachsenform angiebt.
oder muss man das extra lösen, also eine matrix für die drehung und eine für die translation?
danke
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Hallo beni,
die Matrix B ist mit der Matrix S gleichzusetzen, die Du schon errechnet hast. Vielmehr geht es jetzt darum die linearen Glieder wegzubekommen. Das geschieht wie schon erwähnt mit quadratischer Ergänzung.
Es ist also ein Translationsvektor gesucht:
[mm]x\; = \;B\;x'\; = \;B\;\left( {x''\; + \;b} \right)\; = \;B\;x''\; + \;B\;b[/mm]
Dabei ist B eine Matrix, die die gemischtquadratischen Glieder verschwinden läßt. Und b ist ein Translationsvektor mit dem sich die linearen Glieder wegtransformieren lassen.
Gruß
MathePower
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