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| Aufgabe | (Eigenvektoren – Hauptachsentransformation)
Gegeben ist die Matrix
A =
1 1 2
1 2 1
2 1 1
a) Geben Sie die Quadratische Form Q an mit
Q(x) =< x, Ax > .
b) Zeigen Sie, dass l1 = l2 = 1 und l3 = 4 die Eigenwerte mit ihrer algebraischen
Vielfachheit sind (insbesondere ist der doppelte Eigenwert nachzuweisen).
c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A . (Achten Sie – im
Hinblick auf den doppelten Eigenwert - insbesondere auf die Orthogonalität Ihrer
Eigenvektoren.)
d) Geben Sie eine orthogonale Matrix B und eine Diagonalmatrix D an, so dass BT AB = D
ist.
e) Welche Darstellung hat die Quadratische Form Q in den Hauptachsen (d.h. in der Basis
aus Eigenvektoren)? Ist sie positiv definit? (Dies kann man ohne Rechnung beantworten.) |
Ich tue mich total schwer mit der Hautachsentransformation. Leider finde ich kein Beispiel online, das einmal komplett durch gerechnet worden ist.
zu a)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = Q
zu b)
Die Eigenwerte habe ich ausgerechnet und die dazugehörigen Eigenvektoren gebildet.
reelle Eigenwerte:
{1; 1; 4}
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(-1; 1; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(1; 0; 1)
Eigenvektor zu Eigenwert 4:
(-1; -1; 1)
und wenn ich diese zusammen setzte bekomme ich
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1}
[/mm]
wie gehe ich nun weiter vor? bzw. ist das bis jetzt richtig?
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> (Eigenvektoren – Hauptachsentransformation)
> Gegeben ist die Matrix
> A =
> 1 1 2
> 1 2 1
> 2 1 1
>
> a) Geben Sie die Quadratische Form Q an mit
> Q(x) =< x, Ax > .
> b) Zeigen Sie, dass l1 = l2 = 1 und l3 = 4
???
> die Eigenwerte
> mit ihrer algebraischen
> Vielfachheit sind (insbesondere ist der doppelte Eigenwert
> nachzuweisen).
> c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
> von A . (Achten Sie – im
> Hinblick auf den doppelten Eigenwert - insbesondere auf
> die Orthogonalität Ihrer
> Eigenvektoren.)
> d) Geben Sie eine orthogonale Matrix B und eine
> Diagonalmatrix D an, so dass BT AB = D
> ist.
> e) Welche Darstellung hat die Quadratische Form Q in den
> Hauptachsen (d.h. in der Basis
> aus Eigenvektoren)? Ist sie positiv definit? (Dies kann
> man ohne Rechnung beantworten.)
> Ich tue mich total schwer mit der
> Hautachsentransformation. Leider finde ich kein Beispiel
> online, das einmal komplett durch gerechnet worden ist.
>
> zu a)
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 }[/mm] * [mm]\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = Q
Hallo,
nein daß ist falsch.
Es ist <x;Ax>=x^tAx mit [mm] x=\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 }, [/mm] und das sollst Du nun ausrechnen.
>
> zu b)
> Die Eigenwerte habe ich ausgerechnet und die
> dazugehörigen Eigenvektoren gebildet.
> reelle Eigenwerte:
> {1; 1; 4}
>
> Eigenvektor zu Eigenwert 1:
> (-1; 1; 0)
> Eigenvektor zu Eigenwert 1:
> (1; 0; 1)
> Eigenvektor zu Eigenwert 4:
> (-1; -1; 1)
Richtig.
>
> und wenn ich diese zusammen setzte bekomme ich
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1}[/mm]
>
> wie gehe ich nun weiter vor? bzw. ist das bis jetzt
> richtig?
Deine Matrix ist die Matrix T, für welche [mm] T^{-1}AT=diag(4,1,1) [/mm] ist, also schon dicht dran.
Gefordert von Dir ist aber eine Matrix B mit [mm] T^{T}AB=diag(4,1,1) [/mm] .
Du mußt also orthogonal diagonalisieren, also eine ONB aus Eigenvektoren finden.
Deine Matrix ist symmetrisch, also sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal. Das ist auch bei Dir der Fall.
Die Eigenvektoren zum EW 1 mußt Du noch orthogonalisieren, also einen zu (1; 0; [mm] 1)^{T} [/mm] orthogonalen Vektor suchen, welcher im Eigenraum zu 1 liegt.
Danach normierst Du Deine drei vektoren noch, stellst sie nebeneinander in eine matrix und hast damit dann B gefunden.
Gruß v. Angela
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> > b) Zeigen Sie, dass l1 = l2 = 1 und l3 = 4
>
> ???
Hallo Angela,
Da hab' ich zuerst auch gerätselt, bis ich merkte,
dass da neben Ziffern auch dreimal der Buchstabe l
steht, der sich leider von der Eins nur in einem kaum
erkennbaren Pixel unterscheidet ...
Gemeint war vermutlich ein [mm] \lambda
[/mm]
LG Al
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> > > b) Zeigen Sie, dass l1 = l2 = 1 und l3 = 4
> >
> > ???
>
> Hallo Angela,
>
> Da hab' ich zuerst auch gerätselt, bis ich merkte,
> dass da neben Ziffern auch dreimal der Buchstabe l
> steht, der sich leider von der Eins nur in einem kaum
> erkennbaren Pixel unterscheidet ...
>
> Gemeint war vermutlich ein [mm]\lambda[/mm]
Hui!
Du bist ganz schön helle!
Ja, so wird's gemeint sein. Wenn man's erstmal weiß...
Gruß v. Angela
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...sorry, ja gemeint war [mm] \lambda [/mm] , ist beim rüber kopieren wohl etwas verschoben worden. 
zu a)
meine Rechnung sieht wie folgt aus.
Q = <x,Ax>
[mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} & x__{3} }, \pmat{ 2x_{1} & 1x_{2} & -1x__{3} \\ 1x_{1} & 2x_{2} & -1x__{3} \\ -1x_{1} & -1x_{2} & 2x__{3} }
[/mm]
= [mm] 2x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{3}^{2}
[/mm]
= [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] x_{3}^{2}
[/mm]
Kann ich hier noch weiter rechnen?
A > [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1}
[/mm]
zu c) Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren
u1 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
u2 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
u3 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Die alle zusammen in einer Matrix ergibt mein B, stimmt das?
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> ...sorry, ja gemeint war [mm]\lambda[/mm] , ist beim rüber kopieren
> wohl etwas verschoben worden.
>
> zu a)
>
> meine Rechnung sieht wie folgt aus.
>
> Q = <x,Ax>
>
> [mm]\pmat{ x_{1} & x_{2} & x__{3} }, \pmat{ 2x_{1} & 1x_{2} & -1x__{3} \\ 1x_{1} & 2x_{2} & -1x__{3} \\ -1x_{1} & -1x_{2} & 2x__{3} }[/mm]
Hallo,
ist Dir klar, daß Ax ein Spaltenvektor ist und nicht, wie hier von Dir gepostet, eine 3x3-Matrix.
>
> = [mm]2x_{1}^{2}[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}x_{3}[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}[/mm] +
> [mm]2x_{2}^{2}[/mm] - [mm]x_{2}x_{3}[/mm] - [mm]x_{1}x_{3}[/mm] - [mm]x_{2}x_{3}[/mm] +
> [mm]2x_{3}^{2}[/mm]
Das hier stimmt, wie Du auf die nächste zeile kommst, ist mir schleierhaft.
>
> = [mm]x_{1}^{2}[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}x_{3}[/mm] + [mm]x_{2}^{2}[/mm] -
> [mm]x_{2}x_{3}[/mm] + [mm]x_{3}^{2}[/mm]
>
> Kann ich hier noch weiter rechnen?
Wenn es richtig wäre, wärest Du hier fertig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 27.09.2009 | | Autor: | diemelli1 |
... ja ist mir klar. ) (Hab die Zeichen dazwischen falsch gesetzt)
Aber die Rechnung stimmt doch, oder?
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> ... ja ist mir klar. ) (Hab die Zeichen dazwischen
> falsch gesetzt)
> Aber die Rechnung stimmt doch, oder?
Die letzte Zeile nicht, die davo ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 27.09.2009 | | Autor: | diemelli1 |
auf die letzte Zeile komme ich, indem ich alles zusammen fasse, was sich zusammen lääst und dann durch 2 teile.
[mm] 2x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] +
[mm] 2x_{2}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{3}^{2} [/mm]
= [mm] 2x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{1}x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{1}x_{2} [/mm] +
[mm] 2x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}^{2}
[/mm]
= [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] x_{3}^{2} [/mm]
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Hallo,
Du willst mir jetzt aber nich weismachen, daß ein Obstkorb mit 2 Äpfeln, zwei Birnen und zwei Pflaumen dasselbe ist wie ein Obstkorb mit einem Apfel, einer Birne und einer Pflaume.
Oder etwa doch?
Gruß v. Angela
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