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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Do 20.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
ich versuche gerade, das Thema nachzuvollziehen und vollständig zu verstehen... Es hakt bei mir etwas an dem Punkt, an dem ich aus den Eigenvektoren eine Orthogonalbasis bilden soll.
Wenn ich zu einer 3x3-Matrix...
...3 (verschiedene) Eigenwerte rausbekomme - sind dann die 3 Eigenvektoren automatisch eine Orthogonalbasis und ich habe genau ein Hauptachsensystem?
...nur einen ("dreifachen") Eigenwert rausbekomme - habe ich dann IMMER 3 verschiedene Eigenvektoren? Diese sind dann nicht orthogonal, korrekt? Sind denn zumindest zwei zueinander orthogonal?
...3 Eigenvektoren herausbekomme, die keine Orthogonalbasis bilden - aus welchen beiden "baue" ich sie mir dann? Geht der dritte dann einfach bedeutungslos verloren?
Vielen Dank!
Oli
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Hallo!
> Hallo,
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> ich versuche gerade, das Thema nachzuvollziehen und
> vollständig zu verstehen... Es hakt bei mir etwas an dem
> Punkt, an dem ich aus den Eigenvektoren eine
> Orthogonalbasis bilden soll.
Ich nehme für alle meine Antworten an, dass die Matrix überhaupt die Eigenschaft hat, dass es ein Orthogonalsystem aus Eigenvektoren gibt (zum Beispiel also, dass die Matrix symmetrisch ist) - sonst macht das ja keinen Sinn.
> Wenn ich zu einer 3x3-Matrix...
>
> ...3 (verschiedene) Eigenwerte rausbekomme - sind dann die
> 3 Eigenvektoren automatisch eine Orthogonalbasis und ich
> habe genau ein Hauptachsensystem?
Ja, sie sind automatisch orthogonal. Jeder Eigenvektor aus einem der eindimensionalen Eigenräume ließe sich doch dann durch skalare Vielfache eines vorher festgelegten, ausgezeichneten Elements dieses Eigenraums darstellen. Durch Multiplikation mit einem Skalar verändert sich aber nicht die Eigenschaft, zu einem anderen Vektor orthogonal zu stehen (außer man multipliziert mit 0).
D.h.: Wenn es ein Orthogonalsystem aus Eigenvektoren gibt, dann musst du unter den von dir genannten Voraussetzungen nur drei Eigenvektoren bestimmen.
> ...nur einen ("dreifachen") Eigenwert rausbekomme - habe
> ich dann IMMER 3 verschiedene Eigenvektoren?
Du meinst "linear unabhängige" Eigenvektoren.
Das kommt darauf an, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
Wenn sie es ist, dann reden wir hier im übrigen gerade von Matrizen, die zu [mm] \pmat{\lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \lambda} [/mm] ähnlich sind.
> Diese sind
> dann nicht orthogonal, korrekt? Sind denn zumindest zwei
> zueinander orthogonal?
Nein. Schau, obiges Beispiel mit Standardskalarprodukt. Dann sind alle Vektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] Eigenvektoren, und [mm] \vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\0\\0} [/mm] sind linear unabhängig, aber nicht orthogonal.
> ...3 Eigenvektoren herausbekomme, die keine Orthogonalbasis
> bilden - aus welchen beiden "baue" ich sie mir dann? Geht
> der dritte dann einfach bedeutungslos verloren?
Was meinst du damit?
Du kannst immer mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren arbeiten.
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:51 Sa 22.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Danke!
> Was meinst du damit?
> Du kannst immer mit dem Gram-Schmidt'schen
> Orthogonalisierungsverfahren arbeiten.
Wir betrachten nur [mm] \IR^3, [/mm] daher behandeln wir dies nicht, sondern arbeiten mit dem Kreuzprodukt. Sprich, ich nehme zwei der Vektoren (die müssen dann aber schon senkrecht zueinander sein?) und baue daraus den dritten.
Da stellt sich mir die Frage, ob da nicht Willkür mit im Spiel ist - was genau macht das Verfahren denn? Kannst du mir etwas näher bringen, warum man die 3 Vektoren quasi wieder komplett verwirft, um daraus 3 neue zu bauen? Wo war dann der Sinn, genau diese 3 rauszubekommen? Wenn ich nur irgendwelche zueinander senkrechte Vektoren benötige, kann ich ja auch gleich (1|0|0)/(0|1|0)/(0|0|1) nehmen - aber dann war doch das ganze Spielchen umsonst...
Vielen Dank!
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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