Hauptideal in Ideal enthalten < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Sa 20.05.2006 | | Autor: | dummy19 |
| Aufgabe | Sei R ein (nullteilerfreier, kommutativer Hauptidealring und I = Ra ein von {0} verschiedenes Ideal von R. Zeigen sie, dass I nur in endlich vielen Idealen von R enthalten ist.
(Aufgabe für ein Algebra-Seminar!) |
Bei einem Ring mit |R| < [mm] \infty [/mm] ist das alles kein Problem denk ich, weil es da ja nur endlich viele Elemente im Ring gibt, die dann nur endlich viele Ideale erzeugen können, die dann auch nur in maximal endlich vielen anderen Idealen enthalten sein können.
Aber wie ist es bei einem Ring mit |R| = [mm] \infty? [/mm] Hört sich eigentlich logisch an, daß ein Ideal nur in endlich vielen Idealen enthalten sein kann, aber wie kann man sowas beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo dummy!
> Sei R ein (nullteilerfreier, kommutativer Hauptidealring
> und I = Ra ein von {0} verschiedenes Ideal von R. Zeigen
> sie, dass I nur in endlich vielen Idealen von R enthalten
> ist.
>
> (Aufgabe für ein Algebra-Seminar!)
> Bei einem Ring mit |R| < [mm]\infty[/mm] ist das alles kein Problem
> denk ich, weil es da ja nur endlich viele Elemente im Ring
> gibt, die dann nur endlich viele Ideale erzeugen können,
> die dann auch nur in maximal endlich vielen anderen Idealen
> enthalten sein können.
In einem endlichen Ring gibts auch nur endlich viele Ideale  Allerdings: Ein endlicher Integritaetsring ist bereits ein Koerper, womit du eh nur zwei Ideale hast, naemlich $R$ selber und [mm] $\{ 0 \}$. [/mm] Der Fall ist also ziiiemlich langweilig 
> Aber wie ist es bei einem Ring mit |R| = [mm]\infty?[/mm] Hört sich
> eigentlich logisch an, daß ein Ideal nur in endlich vielen
> Idealen enthalten sein kann, aber wie kann man sowas
> beweisen?
Ueberleg dir mal, was es fuer zwei Elemente $a, b [mm] \in [/mm] R$ heisst, wenn $(a) [mm] \subseteq [/mm] (b)$ gilt. Und wann ist $(a) = (b)$? Und dann denk an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung...
LG Felix
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