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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Sa 05.02.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Sei R ein Integritätsbereich. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) R ist ein Körper.
(b) R[t] ist ein euklidischer Ring.
(c) R[t] ist ein Hauptidealring. |
Hallo,
diese Aufgabe würde ich mit Ringschluss lösen:
(a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b):
Aus der Vorlesung ist bekannt: Ist R ein Körper, so ist R[t] mit der Gradfunktion euklidischer Ring.
(b) [mm] \Rightarrow [/mm] (c):
Sei R[t] euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring ist Hauptidealring, sodass R[t] Hauptidealring ist.
(c) [mm] \Rightarrow [/mm] (a):
Sei R[t] Hauptidealring, d. h. für alle a [mm] \in [/mm] R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
existiert ein Ideal der Form (a)={ax | x \in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Da R[t] Hauptideal, gilt für ein [mm] p\in [/mm] R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
(p)={px|x\in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}=R[t]. Weil 1 [mm] \in [/mm] R[t], gilt [mm] 1\in [/mm] (p), sodass es ein [mm] p^{-1} \in [/mm] R[t] gibt mit [mm] p*p^{-1}=1. [/mm] Damit ist p eine Einheit und deg(p)=0. Damit R ein Körper ist, muss ich jedoch zeigen, dass jedes Element aus R[t] den Grad 0 hat und eine Einheit ist.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 So 06.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Katrin!
> Sei R ein Integritätsbereich. Zeigen Sie, dass die
> folgenden Aussagen äquivalent sind:
> (a) R ist ein Körper.
> (b) R[t] ist ein euklidischer Ring.
> (c) R[t] ist ein Hauptidealring.
> Hallo,
>
> diese Aufgabe würde ich mit Ringschluss lösen:
>
> (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b):
> Aus der Vorlesung ist bekannt: Ist R ein Körper, so ist R[t] mit der Gradfunktion euklidischer Ring.
>
> (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (c):
> Sei R[t] euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring ist Hauptidealring, sodass R[t] Hauptidealring ist.
>
> (c) [mm]\Rightarrow[/mm] (a):
> Sei R[t] Hauptidealring, d. h. für alle a [mm]\in[/mm] R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> existiert ein Ideal der Form (a)={ax | x \in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
> Da R[t] Hauptideal, gilt für ein [mm]p\in[/mm] R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> :
> (p)={px|x\in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }=R[t]. Weil 1 [mm]\in[/mm] R[t], gilt [mm]1\in[/mm] (p), sodass es ein [mm]p^{-1} \in[/mm] R[t] gibt mit [mm]p*p^{-1}=1.[/mm] Damit ist p eine Einheit und deg(p)=0. Damit R ein Körper ist, muss ich jedoch zeigen, dass jedes Element aus R[t] den Grad 0 hat und eine Einheit ist.
Das ist nicht gerade lesbar.
> Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Mach's per Kontraposition: Angenommen, $R$ ist kein Koerper. Dann gibt es eine von 0 verschiedene Nicht-Einheit in $R$, nennen wir sie $a$. Betrachte jetzt das von $a$ und $t$ in $R[t]$ erzeugte Ideal; zeige, dass es kein Hauptideal ist: angenommen, $(a, t) = (f)$ fuer $f [mm] \in [/mm] R[t]$. Dann ist $a = f g$ und $t = f h$ fuer $g, h [mm] \in [/mm] R[t]$. Folgere, dass $f [mm] \in R^\ast$ [/mm] ist und zeige, dass $1 [mm] \not\in [/mm] (a, t)$ ist.
LG Felix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
danke für den Tipp. Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
Ang. R ist kein Körper, d. h. es existiert ein a \in R\{0}, zu dem es kein a^{-1} in R gibt.
Sei (a,t)={ag+th | g,h \in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}=(f) für ein f \in R[t].
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] (f) und t [mm] \in [/mm] (f)
[mm] \Rightarrow [/mm] es existieren x,y [mm] \in [/mm] R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit a=fx und t=fy.
\Rightarrow 0=deg(a)=deg(fx) da a \in R\{0}
\Rightarrow fx\in R\{0}, da R Integritätsbereich
\Rightarrow es existiert ein f\in R^*, so dass fx\in R\{0}
Sei f=1
\Rightarrow (1)=(a,t)={ag+th | g,h \in R[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
\Rightarrow ag+th=1
\Rightarrow ag=1 Widerspruch, da g=a^{-1} nicht in R
\Rightarrow R ist Körper.
Ist dieser Beweis so schlüssig?
Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 08.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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