Hauptidealring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 09.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei R Hauptidealring, 0 ungleich a [mm] \in [/mm] R \ R*. Weiter sei I das von a erzeugte Hauptideal. Zeige die Äquivalenz der Aussagen:
a) I ist max Ideal in R
b) I ist Primideal in R
c) a ist irred |
Hallo, hier mal meine Ansätze:
a) --> b)
I max --> R/I Körper --> R/I nullteilerfreier Ring (Integritätsring) --> I Primideal
b) --> c)
I Primideal --> <a> ist Primideal --> a ist prim --> a ist irred
bei c)-->a) fehlt mir leider noch der Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R Hauptidealring, 0 ungleich a [mm]\in[/mm] R \ R*. Weiter sei I
> das von a erzeugte Hauptideal. Zeige die Äquivalenz der
> Aussagen:
> a) I ist max Ideal in R
> b) I ist Primideal in R
> c) a ist irred
> Hallo, hier mal meine Ansätze:
>
> a) --> b)
> I max --> R/I Körper --> R/I nullteilerfreier Ring
> (Integritätsring) --> I Primideal
Soweit so gut, allerdings eine kleine Anmerkung: jeder Integritaetsring ist ein nullteilerfreier Ring. Je nach Definition ist der Nullring jedoch auch ein nullteilerfreier Ring, aber kein Integritaetsring (da dort $1 = 0$ ist). Es ist also wichtig, zwischen nullteilerfreier Ring und Integritaetsring zu unterscheiden. Aus $R/I$ nullteilerfrei folgt naemlich i.A. nur $I$ Primideal oder $I = R$ (und $R$ ist explizit kein Primideal in $R$).
> b) --> c)
> I Primideal --> <a> ist Primideal --> a ist prim --> a ist
> irred
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei c)-->a) fehlt mir leider noch der Ansatz...
Hier brauchst du, dass $R$ ein Hauptidealring ist. (Die anderen beiden Implikationen gelten allgemeiner.)
Sei $J$ ein Ideal von $R$ mit $I [mm] \subseteq [/mm] J [mm] \subseteq [/mm] R$. Da $R$ ein Hauptidealring ist, gibt es ein $b [mm] \in [/mm] R$ mit $J = (b)$ (also das von $b$ erzeugte Hauptideal).
Verwende jetzt Aussagen ueber Teilbarkeit und dass $a$ irreduzibel ist, um $J = I$ oder $J = R$ zu zeigen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 So 09.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
> Sei [mm]J[/mm] ein Ideal von [mm]R[/mm] mit [mm]I \subseteq J \subseteq R[/mm]. Da [mm]R[/mm]
> ein Hauptidealring ist, gibt es ein [mm]b \in R[/mm] mit [mm]J = (b)[/mm]
> (also das von [mm]b[/mm] erzeugte Hauptideal).
>
> Verwende jetzt Aussagen ueber Teilbarkeit und dass [mm]a[/mm]
> irreduzibel ist, um [mm]J = I[/mm] oder [mm]J = R[/mm] zu zeigen.
>
Aus dem, was du geschrieben hast, kann man ja folgern:
a=bc für ein c [mm] \in [/mm] R --> b [mm] \in [/mm] R* oder c [mm] \in [/mm] R*.
Hier hänge ich jetzt allerdings...
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mo 10.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sei [mm]J[/mm] ein Ideal von [mm]R[/mm] mit [mm]I \subseteq J \subseteq R[/mm]. Da [mm]R[/mm]
> > ein Hauptidealring ist, gibt es ein [mm]b \in R[/mm] mit [mm]J = (b)[/mm]
> > (also das von [mm]b[/mm] erzeugte Hauptideal).
> >
> > Verwende jetzt Aussagen ueber Teilbarkeit und dass [mm]a[/mm]
> > irreduzibel ist, um [mm]J = I[/mm] oder [mm]J = R[/mm] zu zeigen.
> >
> Aus dem, was du geschrieben hast, kann man ja folgern:
> a=bc für ein c [mm]\in[/mm] R --> b [mm]\in[/mm] R* oder c [mm]\in[/mm] R*.
> Hier hänge ich jetzt allerdings...
Wenn $b [mm] \in R^\ast$ [/mm] ist, was bedeutet dies fuer $J = (b)$? Und wenn $c [mm] \in [/mm] R^*$ ist, was bedeutet dies dann fuer $J = (b)$ im Vergleich zu $I = (a) = (b c)$?
LG Felix
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