Hauptidealringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:01 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Der_Literat |
Hallo an alle Mathegenies dieser Welt!
Sitze gerade vor meinem neuen Übungszettel zur Linearen Algebra II und bräuchte etwas Hilfe zu einer Aufgabe.
Aufgabe:
Sei R ein Hauptidealring, und seien A, B und C Ideale von R. Zeigen Sie:
(i) (A+B) geschnitten C = (A geschnitten C) + (B geschnitten C)
(ii) (A geschnitten B) + C = (A+C) geschnitten (B+C)
Desweiteren wäre ich echt dankbar, wenn jemand ein Lehrbuch wüsste, in dem etwas mehr über Ideale drinsteht als z.B. in dem von Fischer. Eine gescheite Internetseite o.ä. würde es auch tun.
Vielen lieben Dank für die Hilfe,
Der_Literat
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Literat,
Ich habe versucht ein abstraktes Argument für deine Gleichungen zu finden, was mir nicht gelungen ist. Ist dir bekannt, dass in einem Hauptidealring gilt
(a)+(b) = (ggT(a,b))
[mm] (a)$\cap$(b) [/mm] = (kgV(a,b))
Damit kannst du deine Gleichung umschreiben und du erhälst die Distrubutivgesetze für ggT und kgV. Diese Gleichungen kannst du mithilfe der Primfaktorzerlegung beweisen (mit ein wenig Maximum-Minimum-Spielerei in den Exponenten).
Wenn du googlen möchtest, dann google am besten mit
""distributiver Verband" ggT kgV"
Du wirst Beweise finden, wo gezeigt wird, dass die natürlichen Zahlen ein distributiver Verband bzgl. kgV und ggT sind. Diese Beweise lassen sich aber auf den Fall eines Hauptidealringes übertragen, da du auch in diesen Ringen eine Primfaktorzerlegung hast.
Ich bin nicht so ganz glücklich mit meinen Tips hier, weil ich lieber abstrakte (und wenns geht Totschlag-) Argumente mag, aber da es dir durchaus was nützen kann, poste ich es trotzdem mal. ;)
Vielleicht schaffe ich es noch, einen Beweis zu liefern, der nur die Teilbarkeit benutzt und trotzdem recht übersichtlich ist.
Im Übrigen sind die Inklusionen (i) [mm] \supset [/mm] und (ii) [mm] \subset [/mm] einfach, es geht nur noch um die anderen beiden Inklusionen. *mir immer noch kein gutes Argument ausser Primfaktorzerlegung einfallen will*
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Hallo Irrlicht!
Mein Wissen über Ideal ist eher beschränkt, habe das letzte Woche in der Vorlesung zum ersten Mal gehört und zum Schließen meiner Wissenslücke drei LA Bücher angeschaut. Darin steht aber nicht viel über Ideale.
Was ich weiß, sind ist die Definition eines Ideals. Also x Element des Körpers und i Element des Ideals, beide multipliziert ist wieder ein Ideal. Und wenn ich ein Ideal vom Anderen abziehe, habe ich wieder ein Ideal. Dann habe ich mir mal überlegt, was ein Ideal (praktisch) sein könnte, also z.B. alle geraden Zahlen.
Von dem, was Du geschrieben hast, habe ich in der Vorlseung noch nichts gehört (größter gem. Teiler, kgV). Vielleicht kann da jemand meine Wissenslücken auffüllen? Werde aber morgen erstmal versuchen ein paar gescheite Bücher dazu zu finden.
Liebe Grüße,
Der_Literat
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Hallo!
Also zunächst mal macht der Begriff eines Ideals in einem allgemeinen Ring mehr Sinn, als in einem Körper - denn in jedem Körper gibt es nur zwei Ideale, das Nullideal und der ganze Körper.
Warum ist das so? Naja, ein Ideal ist ja eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] R$, $A [mm] \not= \emptyset$ [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
i) $a - b [mm] \in [/mm] A$ für $a,b [mm] \in [/mm] A$.
ii) $(r [mm] \cdot [/mm] a) [mm] \in [/mm] A$ für $a [mm] \in [/mm] A$ und $r [mm] \in [/mm] R$.
Ich gehe mal von einem kommutativen Ring aus - ist der Ring nicht kommutativ, unterscheidet man Links- und Rechtsideale (für beide Möglichkeiten der Multiplikation) und spricht erst dann von einem Ideal, wenn es sowohl Links- als auch Rechtsideal ist.
Der Grund, warum Ideale in manchen LA-Büchern nicht auftauchen ist der, dass sie nicht unbedingt benötigt werden, aber sehr nützlich sind, wenn man die Jordansche Normalform einführen will - es ist eben sehr praktisch, wenn man das Minimalpolynom einfach als Erzeuger eines gewissen Ideals einführen kann. (Spoiler  )
Es geht aber eben auch ohne und daher verzichten manche Professoren (und Lehrbücher) in ihren Ausführungen auf den Exkurs zu Idealen - auch irgendwo verständlich, es ist eben doch thematisch etwas abseits von den üblichen Matrizen und Vektorräumen.
Insofern empfehle ich Dir Bücher über allgemeine Algebra zu dem Thema (z.B. den "Artin") oder evtl. eines über Zahlentheorie (da werden dann auch die ggT und kgV Begriffe erklärt und benutzt).
Hm, jetzt habe ich ganz vergessen zu beweisen, warum Ideale in Körpern uninteressant sind... also los: 
Die Menge [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] ist in jedem Ring ein Ideal, das sogenannte Nullideal - beide Bedingungen sind ja erfüllt. Nehmen wir also an, dass $K$ ein Körper ist und $A [mm] \subseteq [/mm] K$ ein Ideal in $K$ mit $A [mm] \not= \{ 0 \}$. [/mm] Dann gibt es ein Element $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x [mm] \not= [/mm] 0$. Und da wir uns in einem Körper befinden, gibt es das Element [mm] $x^{-1} \in [/mm] K$.
Nach Eigenschaft ii) liegt damit $1 = [mm] x^{-1} \cdot [/mm] x [mm] \in [/mm] A$. Und wieder nach ii) liegt mit der $1$ jedes weitere Element von $K$ in $A$. Damit folgt $A = K$.
Die interessanten Fälle für Ideale sind also Ringe, die keine Körper sind, z.B. [mm] $\IZ$. [/mm] Das ist auch direkt ein Beispiel für einen Hauptidealring, das heißt jedes Ideal hat einen in gewissem Sinne eindeutigen Erzeuger. In [mm] $\IZ$ [/mm] ist der Erzeuger eines Ideals eindeutig bis aufs Vorzeichen.
Die geraden Zahlen sind das Ideal, das von der Zahl $2$ erzeugt wird. Zu jeder ganzen Zahl $a$ kann man das von $a$ erzeugte Ideal betrachten:
$(a) = [mm] \{ k \cdot a : k \in \IZ \}$.
[/mm]
Also z.B. $(5) = [mm] \{ \ldots , -15, -10, -5,0,5,10,15,20,25,\ldots \}$. [/mm] Die "5er-Reihe".
Vielleicht noch etwas allgemeines Geschwafel... ignoriere es einfach, wenn es Dir nichts sagt. Ideale sind deshalb so wichtig, weil sie als Kerne von Ringmorphismen auftreten (ebenso wie jeder Kern eines Homomorphismus von Vektorräumen immer ein Untervektorraum ist, ist jeder Kern eines Homomorphismus von Ringen ein Ideal) und wenn man auf einem Ring $R$ mit Ideal $A$ die Relation $ [mm] \sim$ [/mm] einführt, die definiert ist durch:
$a [mm] \sim [/mm] b : [mm] \Leftrightarrow [/mm] a - b [mm] \in [/mm] A$
Dann ist das stets eine Äquivalenzrelation und die Menge der Äquivalenzklassen (bezeichnet mit $R / A$) trägt wieder eine Ringstruktur - der sogenannte Faktorring von $R$ nach $A$.
Ideale spielen auch in aktuellerer Mathematik noch eine große Rolle, z.B. in der algebraischen Geometrie... so und jetzt höre ich auf, weil ich fürchte, dass Dich all dies ohnehin nicht interessiert.
Also, viel Erfolg im Ideal-Dschungel!
Lars
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Hallo nochmal!
Vielen Dank für die Ausführungen und die Literaturhinweise. Hat mir schon viel klarer gemacht, was ein Ideal ist. Leider hat mir das aber keinen wesentlichen Anhaltspunkt gebracht, wie ich an die Augabe herangehen soll. Wer kann mir da nochmal ein bißchen helfen?!
Vielen lieben Dank im Vorau,
Der_Literat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Literat!
Wie Irrlicht schon angedeutet hat, musst du zunächst folgendes zeigen:
Für zwei Hauptideale [mm] $A=\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $B=\langle [/mm] b [mm] \rangle$ [/mm] gilt:
$A+B = [mm] \langle \ggT(a,b) \rangle$
[/mm]
und
$A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \langle \kgV(a,b) \rangle$.
[/mm]
Es genügt anschließend also zu zeigen:
(i) [mm] $\kgV(\ggT(a,b),c) [/mm] = [mm] \ggT(\kgV(a,c),\kgV(b,c))$,
[/mm]
(ii) [mm] $\ggT(\kgV(a,b),c) [/mm] = [mm] \kgV(\ggT(a,c),\ggT(b,c))$.
[/mm]
Versuche es doch wenigstens mal. Ohne weitere Bemühungen deinerseits wird dir kaum noch jemand weiterhelfen. Mit schon.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo! Hier ein Versuch von mir:
Beweis (1): A [mm] \cap [/mm] B = kgV(a,b)
Sei w [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B. Zu zeigen: w ist ein Vielfaches von kgV (a,b). Setze v=kgV(a,b).
Sicher ist: w [mm] \ge [/mm] v. Definiere w durch v und nenne Rest r. Es gibt ein q [mm] \in \IN [/mm] so dass w= q*v+r, 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] v.Da a und b sowohl Teiler von a als auch Teiler von b sind, teilen beide auch die Zahl r. Wäre r > 0, so würde es sowohl zu a [mm] \in [/mm] A als auch zu b [mm] \in [/mm] B gehören, also ein gemeinsames Vielfaches von a und b, aber kleiner als das kgv(a,b). Dies ist ein Widerspruch.
Jetzt bin ich auf folgende Gleichung gestoßen: ggT(a,b) * kgV(a,b) = a*b
Wenn ich die Beweise (was ich gleich versuche), dann habe ich doch auch gezeigt, dass (A+B)=(A [mm] \cup [/mm] B) = ggT(a,b), oder?
Beweis (2):
k,l [mm] \in [/mm] R ohne gemeinsame Teiler
m := ggT(n,m)*k
n := ggT(n,m)*l
Es gelte:
a) n = a*t
b) m = b*t
c) ggT(a,b)=1
Daraus folgt:
ggT(n,m)=t
kgV(n,m)=a*b*t
ggT(n,m)*kgV(n,m)=a*b*t*t=n*m
=> kgV(n,m) = k*l*ggT(n,m)
ggT(n,m)*kgV(n,m) = n*m
ggT(n,m) * k*l*ggT(n,m) = ggT(n,m)*k * ggT(n,m)*l
Ist das soweit in Ordnung?
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo DerLiterat!
> Beweis (1): A [mm]\cap[/mm] B = kgV(a,b)
>
> Sei w [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B. Zu zeigen: w ist ein Vielfaches von kgV
> (a,b). Setze v=kgV(a,b).
>
> Sicher ist: w [mm]\ge[/mm] v. Definiere w durch v und nenne Rest r.
> Es gibt ein q [mm]\in \IN[/mm] so dass w= q*v+r, 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] v.Da a
> und b sowohl Teiler von a als auch Teiler von b sind,
> teilen beide auch die Zahl r. Wäre r > 0, so würde es
> sowohl zu a [mm]\in[/mm] A als auch zu b [mm]\in[/mm] B gehören, also ein
> gemeinsames Vielfaches von a und b, aber kleiner als das
> kgv(a,b). Dies ist ein Widerspruch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , denke ich
> Jetzt bin ich auf folgende Gleichung gestoßen: ggT(a,b) *
> kgV(a,b) = a*b
> Wenn ich die Beweise (was ich gleich versuche), dann habe
> ich doch auch gezeigt, dass (A+B)=(A [mm]\cup[/mm] B) = ggT(a,b),
> oder?
Warum? Das sehe ich nicht. Kannst du das bitte mal erläutern?
Liebe Grüße
Julius
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