Hauptsatz < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe Probleme beim Verständniss der Hintergründe zur Berechnung eines bestimmten Integrals. Könnte mir das bitte jemand nochmal erklären?
Durch ein bestimmtes Integral soll ja ein Flächeninhalt berechnet werden, wir haben zur Erklärung ein Integral betrachtet, dessen rechte Begrenzung variabel ist. So haben wir diesen variablen Flächeninhalt durch eine Funktion beschrieben:
[mm] F_A(x)= \integral_{a}^{x}{f(x) dx}
[/mm]
Wenn sich x um [mm] \Delta(x) [/mm] vergrößert lässt sich die hinzugekommene Fläche so formulieren:
[mm] F_A(x+\Delta(x) )-F_A(x)=f(v)*\Delta(x)
[/mm]
v soll ein Zwischenwert sein.
So erhält man [mm]\bruch{F_A(x+\Delta(x))-F_A(x)}{\Delta(x))[/mm]
Soweit ist es für mich einigermaßen nachvollziehbar, aber dann...
Wenn [mm] \Delta(x) [/mm] gegen 0 geht soll [mm] F_A'(x) [/mm] = f(x) sein.Warum eigentlich?Hebt es sich auf, wenn ein Intergral differenziert wird?(Auch wenn es bestimmt ist?)
Also ist das unbestimmte Integral gleich der Flächenfunktion und es kenn einfach die Differenz zwischen den Funktionswerten x und a berechnet werden.
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Ein bestimmtes Integral ist eine Zahl. wenn man die Differenziert ist das Ergebnis Null. Nach was willst du denn differenzieren?
Anders ist es Mit der Funktion F_a(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} Das ist doch wirklich eine Funktion von x. und zwar i.A. keine Konstante, d.h. sie ändert sich, wenn sich x ändert.
Woher du eine Fkt nimmst, bzw die Funktionsvorschrift ist egal, dafür dass es ne Funktion von x ist.
wenn du den Flächeninhalt eines Quadrats Mit F=a^2 kennst, kannst du doch auch die Fkt f(x)=x^2 als Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x betrachten, die Ableitung f'(x) gibt dann die Änderung des Flächeninhaltes an, wenn du x etwas vergrößerst. also f(x+\Delta x) \approx 2*x*Delta x.
Deine Frage "hebt es sich auf" versteh ich nicht ganz. Du sagst du hast noch verstanden:
$ \bruch{F_A(x+\Delta(x))-F_A(x)}{\Delta(x))=f(v) $
mit x<=v<=x+\Delta x
Und dass der Grenzwert \Delta x gegen 0 die Ableitung von F_a(x) ist , ist nichts als die Definition der Ableitung.
Ich seh nicht, was sich da "aufhebt"
Wenn du meinst, dass sozusagen das Integral "weggeht" dann hast du aber einfach recht, und der Hauptsatz sagt, dass Integrieren und differenzieren sich "aufheben" für stetige Funktionen.
In dem Sinn ist das Differenzieren die Umkehrung des Integrierens und das Integrieren die Umkehrung des differenzierens.
Und genau das ist zwar erstaunlich, aber du hast ja den Beweis gesehen. (und gesagt, du siehst ihn ein.
Aber frag nur noch mal genauer nach, wenn dus nicht verstehst.
(Vielleicht liegt es auch nur daran, dass du den Flächeninhalt unter einer Kurve mit veränderlicher rechter Grenze nicht wirklich als Funktion siehst, weil Funktionen bisher immer durch Symbole wie sin(x) oder x^2+x^3 usw. beschrieben wurden.
Aber auch Dein Gewicht in Abhängigkeit von der Zeit seit deiner Geburt ist eine "Funktion" der Zeit, für die es keinen einfachen Ausdruck gibt, deine Mutter könnte die Funktion grob beschreiben, aber sicher nicht ne geschlossene Formel hinschreiben!
Grus leduart
|
|
|
| |
|
Danke Leduart!
So habe ich es jetzt verstanden: Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens, deshalb kann ich das Integral "weglassen".
Danke für die gute Erklärung!
Gruß
Angelika
|
|
|
|
