Hauptsatzt der Integralrechnug < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Schreibe am Montag Matheklausur und dafür müssen wir den Hauptsatz der Integralrechnug verstehen:(
Wir haben eine Funktion f(x) und ein Intervall [a;b]
Teilen wir nun das Intervall in n-Teistücke, haben wir:
[mm] x_{0}=a [/mm] und [mm] x_{n}=b
[/mm]
[mm] [a;b]=[x_{0};x_{1}]+[x_{1};x_{2}].....[x_{n-1};x_{n}] [/mm]
Nun können wir auch noch sagen
x [mm] \in [x_{i};x_{i+1}]
[/mm]
[mm] x_{i}<=x<=x_{i+1} [/mm]
und damit:
[mm] f(x_{i}) [/mm] <= f(x) <= [mm] f(x_{i+1})
[/mm]
Und dann haben wir einen Satz 5 (woher auch immer): m(b-a) <= f(b)-f(a) <=M(b-a)
Und aus jenen Satz soll hervorgehen:
[mm] f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})<= F(x_{i+1})-F(x_{i}) [/mm] <= [mm] f(x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i}) [/mm]
ABER WARUM?
Weiß man warum, ist der Rest dann ganz einfach, da es dasselbe ist, wie:
Untersumme<= [mm] F(x_{i+1})-F(x_{i}) [/mm] <=Obersumme
oder
Untersumme<= [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] <=Obersumme
Vielen Dank im Vorraus,
Dunbi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Schreibe am Montag Matheklausur und dafür müssen wir den
> Hauptsatz der Integralrechnug verstehen:(
>
> Wir haben eine Funktion f(x) und ein Intervall [a;b]
> Teilen wir nun das Intervall in n-Teistücke, haben wir:
>
> [mm]x_{0}=a[/mm] und [mm]x_{n}=b[/mm]
> [mm][a;b]=[x_{0};x_{1}]+[x_{1};x_{2}].....[x_{n-1};x_{n}][/mm]
>
> Nun können wir auch noch sagen
>
> x [mm]\in [x_{i};x_{i+1}][/mm]
> [mm]x_{i}<=x<=x_{i+1}[/mm]
>
> und damit:
>
> [mm]f(x_{i})[/mm] <= f(x) <= [mm]f(x_{i+1})[/mm]
Das gilt aber nur wenn die Funktion monoton steigend ist.
>
> Und dann haben wir einen Satz 5 (woher auch immer): m(b-a)
> <= f(b)-f(a) <=M(b-a)
Habt ihr diesen Satz wirklich so aufgeschrieben?
Er sollte so aussehen:
$ m(b-a)<= F(b)-F(a) <=M(b-a) $
Dabei ist F(x) die Fläche von 0 bis x, d.h. $ F(b) - F(a)$ ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b].
$ m(b-a)$ ist die Fläche des Rechtecks mit den Seiten $ b-a $ und m (Minimum der Funktion m im Intervall [a; b])
M ist das Maximum in dem Intervall.
> Und aus jenen Satz soll hervorgehen:
>
> [mm]f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})<= F(x_{i+1})-F(x_{i})[/mm] <=
> [mm]f(x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})[/mm]
>
> ABER WARUM?
Ich denke, das findest du jetzt alleine raus. Ihr beweist den Satz offensichtlich für monoton steigende Funktionen, d.h. der Funktionswert am linken Ende des Teilintervalls ist das Minimum.
>
> Weiß man warum, ist der Rest dann ganz einfach, da es
> dasselbe ist, wie:
>
> Untersumme<= [mm]F(x_{i+1})-F(x_{i})[/mm] <=Obersumme
Hier sollte eigentlich $ F(b) - F(a) $ stehen.
> oder
> Untersumme<= [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] <=Obersumme
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank im Vorraus,
>
> Dunbi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
<Habt ihr diesen Satz wirklich so aufgeschrieben?
<Er sollte so aussehen:
<
<$ m(b-a)<= F(b)-F(a) <=M(b-a) $
<
<Dabei ist F(x) die Fläche von 0 bis x, d.h. $ F(b) - F(a) $ ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b].
<
<$ m(b-a) $ ist die Fläche des Rechtecks mit den Seiten $ b-a $ und m (Minimum der Funktion m im Intervall [a; b])
<
<M ist das Maximum in dem Intervall.
Ja du hast total Recht, meine Schreibweise war sehr schwach...
Aber warum können wir denn:
$ m(b-a)<= F(b)-F(a) <=M(b-a) $
sagen? Das müssen wir doch beweisen und können es doch nicht als Annahme nehmen oder?
Ich verstehe also folgenden Satz von dir nicht:
"Dabei ist F(x) die Fläche von 0 bis x, d.h. $ F(b) - F(a) $ ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b]."
Aber toll, dass jemand mein Problem versteht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
> <Habt ihr diesen Satz wirklich so aufgeschrieben?
> <Er sollte so aussehen:
> <
> <[mm] m(b-a)<= F(b)-F(a) <=M(b-a)[/mm]
> <
> <Dabei ist F(x) die Fläche von 0 bis x, d.h. [mm]F(b) - F(a)[/mm]
> ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b].
> <
> <[mm] m(b-a)[/mm] ist die Fläche des Rechtecks mit den Seiten [mm]b-a[/mm]
> und m (Minimum der Funktion m im Intervall [a; b])
> <
> <M ist das Maximum in dem Intervall.
>
> Ja du hast total Recht, meine Schreibweise war sehr
> schwach...
>
> Aber warum können wir denn:
>
> [mm]m(b-a)<= F(b)-F(a) <=M(b-a)[/mm]
>
> sagen? Das müssen wir doch beweisen und können es doch
> nicht als Annahme nehmen oder?
m ist ja der kleinste Funktionswert. Da f monoton steigend ist, ist m(b-a) der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite b-a und der Höhe m (= Funktionswert am linken Intervallende) und M(b-a) der Fläächeninhalt mit der breite b-a und der Höhe M (= Funktionswert am rechten Ende des Intervalls) Dazwischen liegt die fFläche unter der Kurve. Wenn du dir das ganze mal aufzeichnest, siehst du, was ich meine. Ich denke, mahr habt ihr im Unterricht zum Beweis auch nicht gemacht.
> Ich verstehe also folgenden Satz von dir nicht:
>
> "Dabei ist F(x) die Fläche von 0 bis x, d.h. [mm]F(b) - F(a)[/mm]
> ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b]."
F(b) ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; b] und F(a) die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; a]. Wenn du jetzt diese beiden Flächen subtrahierst, bekommst du die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b].
Man hätte für das gemeinsame linke Ende auch einen anderen Wert als 0 wählen können, aber es ist üblich von 0 auszugehen, und ich denke, das habt ihr im Unterricht auch gemacht.
Ist das jetzt klarer? Sonst frag noch mal nach.
>
> Aber toll, dass jemand mein Problem versteht....
Mir macht es Spaß, mich in die Probleme anderer hinein zu versetzen, und ich freue mich, wenn ich das richtige getroffen habe.
Gruß
Sigrid
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Hi Sigrid,
das mit m und M habe ich verstanden. Die wahre Fläche muss ja zwischen der kleinsten und größten Fläche liegen.
--> m(b-a)<WAHRHEIT<M(b-a)
Und wir wollen doch wissen, was die Wahreit ist. Ist es wirklich F(b)-F(a)? (Beweis: Hauptsatz der Integralrechnung)
Du sagst nun aber:
"F(b) ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; b] und F(a) die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; a]. Wenn du jetzt diese beiden Flächen subtrahierst, bekommst du die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b]."
und setzt dies dementsprechend ein. Aber woher weißt du das den schon? Sollen wir das denn nicht beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
> Hi Sigrid,
>
> das mit m und M habe ich verstanden. Die wahre Fläche muss
> ja zwischen der kleinsten und größten Fläche liegen.
> --> m(b-a)<WAHRHEIT<M(b-a)
>
> Und wir wollen doch wissen, was die Wahreit ist. Ist es
> wirklich F(b)-F(a)? (Beweis: Hauptsatz der
> Integralrechnung)
>
> Du sagst nun aber:
>
> "F(b) ist die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; b]
> und F(a) die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; a].
> Wenn du jetzt diese beiden Flächen subtrahierst, bekommst
> du die Fläche unter der Kurve im Intervall [a; b]."
>
> und setzt dies dementsprechend ein. Aber woher weißt du das
> den schon? Sollen wir das denn nicht beweisen?
Für mich ist F(x) einfach nach Definition der Flächeninhalt von 0 bis x. Habt ihr das im Unterricht nicht so gemacht?
Das Problem ist, dass man den Hauptsatz auf verschiedene Weise beweisen kann.
Da ist mir auch deine weitere Rechnung nicht ganz klar. Das liegt aber daran, dass ich nicht weiß,was ihr alles im Unterricht gemacht habt.
Ich wäre jetzt so weiter vorgegangen:
$ m(b-a)<F(b)-F(a)<M(b-a) $
$ [mm] \Rightarrow \bruch{m(b-a)}{b-a}< \bruch{F(b)-F(a)}{b-a}< \bruch{M(b-a)}{b-a} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] m < [mm] \bruch{F(b)-F(a)}{b-a} [/mm] < M $
Mit einer Grenzwerbetrachtung für $ b [mm] \to [/mm] a $ kommt man dann zum Ergebnis.
Ich bin davon ausgegangen, dass du von eurem Beweis nur den Teil aufgeschrieben hast, der dir unklar war. Stand da noch mehr?
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
>Für mich ist F(x) einfach nach Definition der Flächeninhalt von 0 bis x. Habt ihr das im Unterricht >nicht so gemacht?
Nein haben wir leider nicht:( Welche Definition ist das denn? Ich denke, dass mein Problem dann gelößt sein würde....
Wir haben auf jeden Fall so weiter gemacht:
$ [mm] f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})< F(x_{i+1})-F(x_{i})
Und dass wäre dann mit i als Index und unenlich vielen Säulen:
I. U(n)<F(b)-F(a)<O(n)
Und zudem wissen wir:
$ [mm] U(n)<\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
Mit der Folge, dass wenn n gegen unendlich strebt, das in der Mitte die Wahrheit ist.
Hast du sonst andere Beweise, die du mir gut und schnell erköären kannst? Ich kann es ja auch anders beweisen, muss ja nicht immer die Lösung aus dem Unterricht sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 08.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dunbi
Das Problem ist hier wohl folgendes:
Es gibt 2 mögliche definitionen für Integral:
1. das Integral ist die Umkehrung des Differenzierens, d.h. [mm] \integral_{0}^{x}{f'(t) dt}=f(x)-f(0)
[/mm]
Dann muss man beweisen, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] der Flächeninhalt unter f(x) zwischen a und b ist.
Oder 2. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ist der Flächeninhalt F(b)-F(a) dann muss man beweisen, dass F'(x)=f(x) gilt.
Den Zusammenhang nennt man "Hauptsatz"
Aus deiner Darstellung geht jetzt nicht eindeutig hervor, was ihr als Integral definiert habt: "aufleiten" also den 1. Fall oder Flächeninhalt, also den 2. Fall
Wenn du das kurz schreibst, ist dir sicher besser zu helfen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Hi leduart,
ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
Für mich ist deine erste und zweite Theorie ziemlich das selbe. Denn, warum
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
die Fläche ist, ist denke ich klar (ich addiere alle f(x)-Werte im Intervall auf und bekomme dann die Fläche). Aber warum ist denn auch F(b)-F(a) die Fläche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
ich habe jetzt eine Idee, wie ihr' s gemacht haben könntet.
> >Für mich ist F(x) einfach nach Definition der
> Flächeninhalt von 0 bis x. Habt ihr das im Unterricht
> >nicht so gemacht?
>
> Nein haben wir leider nicht:( Welche Definition ist das
> denn? Ich denke, dass mein Problem dann gelößt sein
> würde....
Du wählst F(x) als Flächeninhaltsfunktion im Intervall [0; x].
>
> Wir haben auf jeden Fall so weiter gemacht:
>
> [mm]f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})< F(x_{i+1})-F(x_{i})
>
> Und dass wäre dann mit i als Index und unenlich vielen
> Säulen:
>
> I. U(n)<F(b)-F(a)<O(n)
>
> Und zudem wissen wir:
>
> [mm]U(n)<\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
>
> Mit der Folge, dass wenn n gegen unendlich strebt, das in
> der Mitte die Wahrheit ist.
>
> Hast du sonst andere Beweise, die du mir gut und schnell
> erköären kannst? Ich kann es ja auch anders beweisen, muss
> ja nicht immer die Lösung aus dem Unterricht sein oder?
Das hängt von eurem Lehrer ab. Normalerweise soll die Klausur zeigen, was ihr vom Unterricht mitbekommen habt.
WEnn ich da richtig verstanden habe, habt ihr das bestimmte Integral als gemeinsamer Grenzwert von Ober- und Untersumme definiert. Es gibt damit den Flächeninhalt an. Dann müsste aber m.E. bei eurem Beweis noch mehr stehen, als du aufgeschrieben hast.
Ich gebe dir jetzt mal einen anderen Beweis. Viellecht hat aber auch Leduart noch eine bessere Idee.
Ich definiere F(x) als Flächeninhalt der Fläche unter der Kurve im Intervall [0; x].
Es ist klar, dass dann gilt:
$ m(b-a)<F(b)-F(a)<M(b-a) $
oder, wenn ich x=a und x+h=b (h>0) setze:
$ m [mm] \cdot [/mm] h<F(x+h)-F(x)<M [mm] \cdot [/mm] h $
Da deine Funktion monoton steigend ist (zumindest entnehme ich das deinen Angaben), ist m=f(x) und M=f(x+h)
also: $ f(x) [mm] \cdot [/mm] h <F(x+h)-F(x)< f(x+h) [mm] \cdot [/mm] h $
durch h dividiert, ergibt:
$ f(x) < [mm] \bruch{F(x+h)-F(x)}{h}< [/mm] f(x+h) $
Für die Grenzwerte gilt dann:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x) [/mm] < [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{F(x+h)-F(x)}{h}< \limes_{h\rightarrow 0}f(x+h) [/mm] $
und damit
$ f(x) = F'(x) = f(x) $ (Die Funktion f ist ja stetig.)
Das gleiche müstest du nun noch mit dem Intervall [x-h;x] machen. (Vorsicht mit den Vorzeichen)
Damit hast du dann, dass die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion gleich f ist.
Das ist so in Kürze ein mögliches Beweisverfahren. Aber ich weiß nicht, ob dir das wirklich hilft.
Vielleicht siehst du aber noch mal nach, ob ihr nicht noch was zu eurem Beweis oder zu dem benutzten Satz gesagt habt. Hast du den Beweis auch im Buch stehen? Wenn ja, in welchem?
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Hi Nochmal,
der Lehrer hat uns einfach eine Seite aus seinem Buch kopiert und wir müssen damit fertig werden!
Fals es dir hilft, es ist der Satz 5.7 auf Seite 202...
Ich habe nur noch eine Letzte Frage:
"Ich definiere F(x) als Flächeninhalt der Fläche unter der Kurve im Intervall [0; x]."
WARUM MACHST/ KANNST/ DARFST DU DAS?
Gruß,
Dunbi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
> Hi Nochmal,
>
> der Lehrer hat uns einfach eine Seite aus seinem Buch
> kopiert und wir müssen damit fertig werden!
> Fals es dir hilft, es ist der Satz 5.7 auf Seite 202...
>
Leider nicht.
> Ich habe nur noch eine Letzte Frage:
> "Ich definiere F(x) als Flächeninhalt der Fläche unter der
> Kurve im Intervall [0; x]."
> WARUM MACHST/ KANNST/ DARFST DU DAS?
Es geht doch bei dem Hauptsatz darum, dass du Zeigen sollst, dass die Ableitung der Integralfunktion $ F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(x) dx} [/mm] $ ( x>0) gleich f ist. Wenn die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, ist das aber gerade der Flächeninhalt unter der Kurve im Intervall [0; x]. Deshalb untersuche ich diese Funktion. Statt der Grenze 0 könntest du aber auch eine andere untere Grenze (z.B. a) nehmen.
Du betrachtest den Hauptsatz aber nur für einen Sonderfall
Gruß
Sigrid
> Gruß,
> Dunbi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 So 08.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Ok danke dann und bis dann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 So 08.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dunbi,
> Schreibe am Montag Matheklausur und dafür müssen wir den
> Hauptsatz der Integralrechnug verstehen:(
>
> Wir haben eine Funktion f(x) und ein Intervall [a;b]
> Teilen wir nun das Intervall in n-Teistücke, haben wir:
>
> [mm]x_{0}=a[/mm] und [mm]x_{n}=b[/mm]
> [mm][a;b]=[x_{0};x_{1}]+[x_{1};x_{2}].....[x_{n-1};x_{n}][/mm]
>
> Nun können wir auch noch sagen
>
> x [mm]\in [x_{i};x_{i+1}][/mm]
> [mm]x_{i}<=x<=x_{i+1}[/mm]
>
> und damit:
>
> [mm]f(x_{i})[/mm] <= f(x) <= [mm]f(x_{i+1})[/mm]
>
> Und dann haben wir einen Satz 5 (woher auch immer): m(b-a)
> <= f(b)-f(a) <=M(b-a)
Wenn es sich hierbei um den Schrankensatz handelt, ist m das Minimum der Ableitungsfunktion f' und M das Maximum von f'
> Und aus jenen Satz soll hervorgehen:
>
> [mm]f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})<= F(x_{i+1})-F(x_{i})[/mm] <=
> [mm]f(x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})[/mm]
>
> ABER WARUM?
[mm] f(x_i) [/mm] ist das Minimum der Funktion f im Intervall [mm] [x_i; x_{i+1}] [/mm] und [mm] f(x_{i+1}) [/mm] das Maximum, da die Funktion ja monoton steigend ist. F ist jetzt irgendeine Stammfunktion von f, d.h. ja F'(x)=f(x).
Damit ist der Satz nur auf die Stammfunktion F angewendet.
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> Weiß man warum, ist der Rest dann ganz einfach, da es
> dasselbe ist, wie:
>
> Untersumme<= [mm]F(x_{i+1})-F(x_{i})[/mm] <=Obersumme
> oder
> Untersumme<= [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] <=Obersumme
>
Entschuldige, dass ich erst jetzt richtig schalte. Ich hoffe, es reicht noch.
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Dunbi |
Keine Panik Abitur ist erst im März ..... mache bei Gelegenheit nochmal eine bessere Fragestellung...
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