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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein top. Raum $X$ genau dann die Hausdorffeigenschaft hat, wenn jedes Netz in $X$ höchstens gegen einen Punkt konvergiert. |
Hallo,
ich möchte obige Aussage beweisen. Die Implikation [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ist mir bereits gelungen. Jedoch gelingt mir die andere Richtung nicht...
Ich habe da schon länger drüber nachgedacht, aber ich komme auf keinen grünen Zweig.
Probiert habe ich es wie folgt:
Jedes Netz in $X$ habe höchstens einen Grenzwert.
Angenommen $X$ ist nicht Hausdorff, dann gibt es [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $x\neq [/mm] y$ und Umgebungen [mm] $U_x, U_y$ [/mm] mit [mm] $U_x\cap U_y\neq\emptyset$.
[/mm]
Also existiert ein [mm] $z\in U_x$ [/mm] und [mm] $z\in U_y$.
[/mm]
Sei [mm] $z_n\to [/mm] z$ ein konvergentes Netz.
Für alle Umgebungen $V$ von $z$ existiert nun ein $N$ so, dass für alle [mm] $n\geq [/mm] N$ bereits [mm] $z_n\in [/mm] V$ ist.
Nun habe ich versucht zu folgern, dass $z$ dann auch ein Grenzwert von [mm] $x_i$ [/mm] oder [mm] $y_i$ [/mm] ist.
Das ist mir aber nicht gelungen.
Hat jemand einen Tipp wie ich die Aufgabe lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:06 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
> Jedes Netz in [mm]X[/mm] habe höchstens einen Grenzwert.
Guter Start.
> Angenommen [mm]X[/mm] ist nicht Hausdorff, dann gibt es [mm]x,y\in X[/mm]
> mit [mm]x\neq y[/mm] und Umgebungen [mm]U_x, U_y[/mm] mit [mm]U_x\cap U_y\neq\emptyset[/mm].
Die Annahme, dass X nicht Hausdorrfsch ist, liefert dir eine ungleich stärkere Eigenschaft: Es existieren [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $x\not=y$, [/mm] so dass für ALLE ("noch so kleinen") Umgebungen U von x und V von y gilt: [mm] $U\cap V\neq\emptyset$.
[/mm]
> Also existiert ein [mm]z\in U_x[/mm] und [mm]z\in U_y[/mm].
Ja. Es existiert zu jeder Umgebung U von x und jeder Umgebung V von y ein [mm] $z_{(U,V)}\in U\cap [/mm] V$.
> Sei [mm]z_n\to z[/mm] ein
> konvergentes Netz.
Irgendeines? Das wird uns nicht viel nützen. Das "Tolle", was wir ja jetzt bei dieser Richtung voraussetzen, ist ja, dass JEDES Netz in X höchstens einen Grenzwert besitzt. Wir dürfen uns also selber geschickt ein Netz wählen, auf das wir diese Eigenschaft anwenden wollen.
> Für alle Umgebungen [mm]V[/mm] von [mm]z[/mm] existiert nun ein [mm]N[/mm] so, dass
> für alle [mm]n\geq N[/mm] bereits [mm]z_n\in V[/mm] ist.
Das stimmt (auch wenn uns diese Erkenntnis nicht weiterführen wird).
> Nun habe ich versucht zu folgern, dass [mm]z[/mm] dann auch ein
> Grenzwert von [mm]x_i[/mm] oder [mm]y_i[/mm] ist.
> Das ist mir aber nicht gelungen.
Was meinst du mit [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $y_i$?
[/mm]
> Hat jemand einen Tipp wie ich die Aufgabe lösen kann?
Um den gewünschten Widerspruch zu erhalten, bietet es sich an, nach einem Netz zu suchen, dass sowohl gegen x, als auch gegen y konvergiert (im Widerspruch zur Voraussetzung, dass jedes Netz gegen höchstens einen Punkt konvergiert).
Ich gebe nun ein solches Netz an (indem ich sozusagen die die oben gefundenen [mm] $z_{(U,V)}\in U\cap [/mm] V$ für alle Umgebungen U von x und V von y zu einem Netz zusammenfüge):
Sei
[mm] I:=\{(U,V)\;|\;U\text{ Umgebung von x, }V\text{ Umgebung von y}\}.
[/mm]
Sei eine Relation [mm] $\triangleleft_I$ [/mm] auf I definiert durch
[mm] $(U_1,V_1)\triangleleft_I(U_2,V_2):\iff U_1\supseteq U_2\text{ und }V_1\supseteq V_2$.
[/mm]
(Die grobe Idee hinter der Konstruktion: "Große" Werte [mm] $i\in [/mm] I$ sollen "kleinen" Umgebungen von x und y entsprechen.)
(Mache dir klar, dass [mm] $(I,\triangleleft_I)$ [/mm] tatsächlich eine gerichtete Menge bildet.)
Zeige nun: Das Netz [mm] $(z_{(U,V)})_{(U,V)\in I}$ [/mm] konvergiert gegen x und gegen y.
Viele Grüße
Tobias
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Danke für deine Antwort, das hilft mir sehr weiter.
Ich hatte schon gedacht, dass ich eine solche Folge selber konstruieren muss, jedoch wusste ich nicht wie.
Nun weiß ich es. Danke.
> Was meinst du mit $ [mm] x_i [/mm] $ und $ [mm] y_i [/mm] $?
Damit meinte ich die Folgen [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] und [mm] $(y_i)_{i\in I}$. [/mm] Ich war nur zu faul es auszuschreiben...
Ich hätte wohl zumindest die Klammern setzen sollen.
> Mache dir klar, dass $ [mm] (I,\triangleleft_I) [/mm] $ tatsächlich eine gerichtete Menge bildet.
Die Reflexivität und Transitivität folgt direkt.
Für die obere Schranke [mm] z=(U_S,V_S) [/mm] wähle ich [mm] $U_S$ [/mm] als den Schnitt aller Umgebungen die $x$ enthalten. Dies ist wieder eine offene Umgebung von $x$ und [mm] $U_S\subseteq [/mm] U$ ist erfüllt.
Analog für [mm] $V_S$.
[/mm]
> Zeige nun: Das Netz $ [mm] (z_{(U,V)})_{(U,V)\in I} [/mm] $ konvergiert gegen x und gegen y.
Es gilt [mm] $(z_{(U,V)})_{(U,V)\in I}\to [/mm] x$, denn für alle Umgebungen $U$ von $x$ existiert ein [mm] $z_{(U,V)}$ [/mm] so, dass [mm] $z_{(U,V)}\in [/mm] U$, nach Konstruktion des Netzes.
Analog für $y$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Was meinst du mit [mm]x_i[/mm] und [mm]y_i [/mm]?
>
> Damit meinte ich die Folgen [mm](x_i)_{i\in I}[/mm] und [mm](y_i)_{i\in I}[/mm].
> Ich war nur zu faul es auszuschreiben...
> Ich hätte wohl zumindest die Klammern setzen sollen.
Nein, mein Einwand ist ein anderer: Ich finde in Aufgabenstellung und deinem Ansatz weder eine Menge I noch irgendwelche Netze [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] und [mm] $(y_i)_{i\in I}$ [/mm] (ob nun mit Klammern oder ohne Klammern). Also ist mir immer noch nicht klar, was für Netze du meinst.
> > Mache dir klar, dass [mm](I,\triangleleft_I)[/mm] tatsächlich eine
> gerichtete Menge bildet.
>
> Die Reflexivität und Transitivität folgt direkt.
> Für die obere Schranke [mm]z=(U_S,V_S)[/mm] wähle ich [mm]U_S[/mm] als den
> Schnitt aller Umgebungen die [mm]x[/mm] enthalten. Dies ist wieder
> eine offene Umgebung von [mm]x[/mm] und [mm]U_S\subseteq U[/mm] ist
> erfüllt.
> Analog für [mm]V_S[/mm].
Der Schnitt aller Umgebungen von x ist im Allgemeinen nicht offen und keine Umgebung von x.
(Was meinst du hier mit U?)
Seien [mm] $(U_1,V_1),(U_2,V_2)\in [/mm] I$. Gesucht ist ein Paar [mm] $(U,V)\in [/mm] I$ mit [mm] $(U_1,V_1)\triangleleft_I(U,V)$ [/mm] und [mm] $(U_2,V_2)\triangleleft_I(U,V)$.
[/mm]
> > Zeige nun: Das Netz [mm](z_{(U,V)})_{(U,V)\in I}[/mm] konvergiert
> gegen x und gegen y.
>
> Es gilt [mm](z_{(U,V)})_{(U,V)\in I}\to x[/mm], denn für alle
> Umgebungen [mm]U[/mm] von [mm]x[/mm] existiert ein [mm]z_{(U,V)}[/mm] so, dass
> [mm]z_{(U,V)}\in U[/mm], nach Konstruktion des Netzes.
> Analog für [mm]y[/mm].
(Warum existiert so ein passendes V zu der gegebenen Umgebung U bzw. was für ein V leistet das Behauptete?)
Schau dir nochmal die Definition der Konvergenz von Netzen an.
Du zeigst nämlich eine viel schwächere Eigenschaft als die Konvergenz unseres Netzes gegen x.
Gegeben eine Umgebung U von x suchen wir ein [mm] $i_0=(U_0,V_0)\in [/mm] I$ mit der Eigenschaft [mm] $z_i\in [/mm] U$ für ALLE [mm] $i\triangleright i_0$.
[/mm]
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> Ich finde in Aufgabenstellung und deinem Ansatz weder eine Menge I noch irgendwelche Netze $ [mm] (x_i)_{i\in I} [/mm] $ und $ [mm] (y_i)_{i\in I} [/mm] $ (ob nun mit Klammern oder ohne Klammern). Also ist mir immer noch nicht klar, was für Netze du meinst.
[mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] und [mm] $(y_i)_{i\in I}$ [/mm] sollten Netze sein. In der Aufgabenstellung kommen sie nicht vor. Ich wähle sie also selber. Das kann ich doch tun, oder?
Das spielt aber für den von dir gegebenen Ansatz auch keine Rolle mehr, oder?
$I$ hast du mittlerweile für etwas anderes benutzt.
> Der Schnitt aller Umgebungen von x ist im Allgemeinen nicht offen und keine Umgebung von x.
> (Was meinst du hier mit U?)
Ich meinte, dass [mm] $U_S\subseteq [/mm] U$ gilt, für alle Umgebungen $U$ von $x$.
Warum ist der Schnitt aller Umgebungen von $x$ im Allgemeinen nicht offen und keine Umgebung von x?
Umgebungen von x sind doch offene Mengen, die x enthalten.
Da wir eine Topologie haben, ist der Schnitt von offenen Mengen, über beliebige Indexmengen, wieder eine offene Menge.
Was verstehe ich falsch?
> Seien $ [mm] (U_1,V_1),(U_2,V_2)\in [/mm] I $. Gesucht ist ein Paar $ [mm] (U,V)\in [/mm] I $ mit $ [mm] (U_1,V_1)\triangleleft_I(U,V) [/mm] $ und $ [mm] (U_2,V_2)\triangleleft_I(U,V) [/mm] $.
Ich hatte oben denke ich das mit der oberen Schranke falsch.
Nach wie vor, würde ich hier [mm] $U=U_1\cap U_2$ [/mm] und [mm] $V=V_1\cap V_2$ [/mm] nehmen. U und V enthalten x, und sollten auch offene Umgebungen sein.
> (Warum existiert so ein passendes V zu der gegebenen Umgebung U bzw. was für ein V leistet das Behauptete?)
Wir wissen ja, dass zu jeder Umgebung $U$ eine Umgebung $V$ existiert, so dass der Schnitt nicht leer ist.
Dieses $V$ leistet das Behauptete.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 24.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich finde in Aufgabenstellung und deinem Ansatz weder eine
> Menge I noch irgendwelche Netze [mm](x_i)_{i\in I}[/mm] und
> [mm](y_i)_{i\in I}[/mm] (ob nun mit Klammern oder ohne Klammern).
> Also ist mir immer noch nicht klar, was für Netze du
> meinst.
>
> [mm](x_i)_{i\in I}[/mm] und [mm](y_i)_{i\in I}[/mm] sollten Netze sein. In
> der Aufgabenstellung kommen sie nicht vor. Ich wähle sie
> also selber. Das kann ich doch tun, oder?
Das kannst du tun. Dann solltest du diese Wahl dem Leser nicht vorenthalten. Schreibe also explizit, dass du Netze [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] und [mm] $(y_i)_{i\in I}$ [/mm] mit gewissen Eigenschaften (Welchen Eigenschaften?) wählen möchtest und begründe ihre Existenz.
> Das spielt aber für den von dir gegebenen Ansatz auch
> keine Rolle mehr, oder?
> [mm]I[/mm] hast du mittlerweile für etwas anderes benutzt.
Das stimmt.
> > Der Schnitt aller Umgebungen von x ist im Allgemeinen nicht
> offen und keine Umgebung von x.
> > (Was meinst du hier mit U?)
>
> Ich meinte, dass [mm]U_S\subseteq U[/mm] gilt, für alle Umgebungen
> [mm]U[/mm] von [mm]x[/mm].
OK. (Auch hier solltest du das "für alle Umgebungen U von x" dem Leser nicht vorenthalten.)
> Warum ist der Schnitt aller Umgebungen von [mm]x[/mm] im Allgemeinen
> nicht offen und keine Umgebung von x?
> Umgebungen von x sind doch offene Mengen, die x
> enthalten.
> Da wir eine Topologie haben, ist der Schnitt von offenen
> Mengen, über beliebige Indexmengen, wieder eine offene
> Menge.
Nein, der Schnitt von offenen Mengen über beliebige Indexmengen ist im Allgemeinen nicht offen.
Beispiel: Betrachte im topologischen Raum [mm] $\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Topologie die offenen Intervalle [mm] $U_n:=(-\frac{1}{n},+\frac{1}{n})$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$. [/mm] Ihr Schnitt [mm] $\bigcup_{n\in\IN\setminus\{0\}}U_n$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{0\}$, [/mm] die nicht offen ist.
Dagegen ist der Schnitt über ENDLICH viele offene Mengen in beliebigen topologischen Räumen wieder offen.
Wie habt ihr den Begriff "Umgebung" definiert? Sind wirklich Umgebungen bei euch immer offen?
Üblich ist eigentlich die folgende Definition:
Sei X ein topologischer Raum und [mm] $x\in [/mm] X$. Eine Umgebung von x ist eine Teilmenge [mm] $V\subseteq [/mm] X$, für die eine offene Teilmenge [mm] $U\subseteq [/mm] X$ existiert mit [mm] $x\in U\subseteq [/mm] V$.
> > Seien [mm](U_1,V_1),(U_2,V_2)\in I [/mm]. Gesucht ist ein Paar
> [mm](U,V)\in I[/mm] mit [mm](U_1,V_1)\triangleleft_I(U,V)[/mm] und
> [mm](U_2,V_2)\triangleleft_I(U,V) [/mm].
>
> Ich hatte oben denke ich das mit der oberen Schranke
> falsch.
> Nach wie vor, würde ich hier [mm]U=U_1\cap U_2[/mm] und [mm]V=V_1\cap V_2[/mm]
> nehmen. U und V enthalten x, und sollten auch offene
> Umgebungen sein.
Im Allgemeinen sind U und V zwar nicht offen (es sei denn, bei euch sind Umgebungen per Definitionem offen), aber in der Tat Umgebungen von x.
Ansonsten sehr schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > (Warum existiert so ein passendes V zu der gegebenen
> Umgebung U bzw. was für ein V leistet das Behauptete?)
>
> Wir wissen ja, dass zu jeder Umgebung [mm]U[/mm] eine Umgebung [mm]V[/mm]
> existiert, so dass der Schnitt nicht leer ist.
> Dieses [mm]V[/mm] leistet das Behauptete.
Warum wissen wir, dass zu jeder Umgebung U von x eine Umgebung V von y existiert mit [mm] $U\cap V\not=\emptyset$?
[/mm]
Wir wissen, dass für jede Umgebung U von x und jede Umgebung V von y gilt [mm] $U\cap V\not=\emptyset$.
[/mm]
Wir können $V$ als willkürliche Umgebung von y wählen.
Könnte das schief gehen, weil y gar keine Umgebung haben könnte?
Nein, denn in jedem topologischen Raum $X$ hat jeder Punkt $y$ mindestens eine Umgebung, nämlich die (triviale) Umgebung $X$.
(Ich wollte also auf die Wahl $V:=X$ hinaus.)
Es fehlt noch der Nachweis der Konvergenz unseres konstruierten Netzes [mm] $(z_i)_{i\in I}$ [/mm] gegen x.
Gegeben eine beliebige offene Umgebung $U$ von X suchen wir also ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $z_i\in [/mm] U$ für alle [mm] $i\triangleright i_0$.
[/mm]
Sei also $U$ eine offene Umgebung von x.
Wir wählen [mm] $i_0:=(U,X)$.
[/mm]
Sei nun [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $i\triangleright i_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $z_i\in [/mm] U$.
Wegen [mm] $i\in [/mm] I$ existieren Umgebungen [mm] $\tilde{U}$ [/mm] von x und [mm] $\tilde{V}$ [/mm] von y mit [mm] $i=(\tilde{U},\tilde{V})$.
[/mm]
Wegen [mm] $i\triangleright i_0$ [/mm] gilt...
Kannst du den Beweis zu Ende führen?
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> Wie habt ihr den Begriff "Umgebung" definiert?
Genau wie von dir angegeben. Sorry, da habe ich was durcheinander gebracht.
> Im Allgemeinen sind U und V zwar nicht offen (es sei denn, bei euch sind Umgebungen per Definitionem offen), aber in der Tat Umgebungen von x.
Ich sehe gerade auch, dass nach deiner Definition von $I$ wir die Offenheit überhaupt nicht benötigen...
Zu dem Beweis der Konvergenz antworte ich später.
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