Helikoide, Untermannigfaltig. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe a) schon gezeigt.
Wie kann man bei b) vorgehen?
Gruß
Igor
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Di 12.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> ich habe a) schon gezeigt.
> Wie kann man bei b) vorgehen?
Tipp: Transformationssatz !
FRED
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> Gruß
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
Für den Transformationssatz braucht man einen geeigneten Diffeomorphismus.
Wenn man [mm] \psi [/mm] als Diffeomorphismus wählt, dann ist die Jacobimarix von [mm] \psi [/mm] eine 3x2 Matrix. "Determinante" ist aber nur für quadratische Matrizen definiert.
Wie kann man hier den Transformationssatz verwenden ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 15.01.2016 | | Autor: | huddel |
ich geb dir mal einen Link den ich für derartige Angelegenheiten sehr nützlich fand:
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/ANALYSIS.pdf
demnach gilt:
Sei M eine Manigfaltigkeit und [mm] $\varphi \colon [/mm] W [mm] \to [/mm] M$ eine Karte, $f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [0,\infty]$ [/mm] eine messbare Funktion die außerhalb von [mm] $\varphi(W)$ [/mm] verschwindet, dann gilt:
[mm] $\int_M [/mm] f = [mm] \int f(\varphi(x))\sqrt{det(d_x \varphi)^T (d_x\varphi)} [/mm] d^kx$
falls du dich mit Integration von Differentialformen, dem äußeren Produkt etc. auskennst würde ich dir diesen Weg empfehlen, da damit das ganze rumgerechne mit der Funktionaldeterminante entfällt... (steht auch in dem Skript). Falls du dabei Hilfe brauchen solltest kann ich dir da auch gerne helfen :)
LG
huddel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:22 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
erstmal zum Link : das ist schon eine sehr umfangreiche Sammlung von Wissen aus der Analysis. Danke dir für den Link.
zur Aufgabe :
mit deinem Vorschlag habe ich einen Rechenweg "skizziert" (skizziert, weil Voraussetzungen noch zu prüfen sind) .
Ich kam am Ende des Rechenweges auf folgenden Integral:
[mm] \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} u(a^2+u^2) \, [/mm] d(u,v) . Dabei entspricht der Ausdruck in Klammern (hier) dem Ausdruck unter der Wurzel (in der obigen Formel) .
Kommst du auch auf den Integral ?
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 17.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Mo 18.01.2016 | | Autor: | huddel |
Für alle die es noch interessiert:
Das Integral lautet $ [mm] \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} [/mm] u [mm] \sqrt{(a^2+u^2)} [/mm] $ :)
LG
Marlon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 18.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
Ich schaue mal, warum ich die Wurzel vergessen habe.
Zur Berechnung des Integrals wird die Voraussetzung "f ist elementar integrierbar" benötigt.
Wir nennen eine Funktion f : M → [mm] \IR [/mm] elementar integrierbar (über M), wenn es eine lokale Parametrisierung [mm] \psi [/mm] : U → M ∩V von M gibt mit f ≡ 0 f.ü. auf [mm] M\setminus [/mm] V und derart, dass die Funktion [mm] [f\circ \psi]\wurzel{g_\psi}:U->\IR [/mm] Lebesgue-integrierbar ist.
In diesem Fall definieren wir [mm] \int_{M}^{}f [/mm] :=
[mm] \int_{U}^{}f(\psi(x) )*\wurzel{g_\psi (x)}\,dx [/mm]
[mm] g_\psi [/mm] := det [mm] J^T _\psi [/mm] J [mm] _\psi
[/mm]
[mm] M\setminus [/mm] V entspricht bei der Aufgabe [mm] S/\IR^3 [/mm] ( [mm] =\emptyset). [/mm] "fast überall" wurde jedoch auf einer nichtleeren Menge definiert.
Deshalb kann ich die Voraussetzung "f elementar integrierbar" nicht überprüfen.
Was kann man machen ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 18.01.2016 | | Autor: | huddel |
Damit hat sich die Frage mit der Wurzel wohl weitestgehend geklärt, oder?
Was deine Definition von "fast überall" betrifft bin ich nun etwas verwirrt. Wie genau habt ihr "f.ü." genau definiert?
Abgesehen davon hast du einen kleinen Denkfehler mit drin: $M=H$, $U=S$, [mm] $V=\psi(U)$ [/mm] und wir betrachten nun [mm] $M\setminus [/mm] V$ also [mm] $H\setminus \psi(S)$. [/mm] Gut das ist im am Ende auch $ [mm] =\emptyset [/mm] $, es ist aber ein bisschen eine andere leere Menge :D
LG
Huddel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mo 18.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
Definition von " fast überall" :
Eine Aussage (P) über Punkte aus X gilt nach Definition
” µ-fast überall auf X “
(kurz: f.ü.), falls die Menge
A := {x ∈ X : (P) gilt nicht für x} eine µ-Nullmenge ist.
Da davor im Skript [mm] (X,\sum, \mu [/mm] ) ein Maßraum ist , muss X nichtleer (so ist das vorausgesetzt worden ) sein . Ich vermute halt, daß X in der Definition als Grundmenge des Maßraums ist (zuvor im Skript wurde gesagt, daß im folgenden [mm] (X,\sum, \mu [/mm] ) stets ein Maßraum ist).
Gruß
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 18.01.2016 | | Autor: | Igor1 |
Bei c) habe [mm] 2\pi [/mm] raus. Stimmt das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Di 19.01.2016 | | Autor: | huddel |
Ja auf [mm] $2\pi$ [/mm] komme ich auch.
Zu f.ü.: Dann hast du genau die Definition, die ich auch kenne. Und du hast recht, der Grundraum $X$ darf nicht leer sein. Jedoch, gilt hier ja [mm] $\psi(S) [/mm] = M$ wodurch es kein [mm] $M\setminus [/mm] V$ mehr gibt und du dir über die Bedingung [mm] $f\equiv [/mm] 0$ auf [mm] $M\setminus [/mm] V$ keine Gedanken mehr machen musst. das passt also schon. :)
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