Helmholtz exakte Lösung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Do 28.06.2012 | | Autor: | Perko |
Hallo,
ich programmiere grad mit Matlab ein Mehrgitterverfahren, welches folgendes Problem numerisch lösen soll:
-u''(x) + k*u(x) = f(x)
u(0) = u(1) = 0
0 < x < 1
um meine Lösung zu kontrollieren brauche allerdings eine exakte analytische Lösung. Es soll alles eindimensional behandelt werden. Und wenn möglich für hohe k und f(x) nicht 0.
Kann mir bitte jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Perko |
Ok, ich glaub, ich stand einfach auf dem Schlauch.
Kann man sich denn einfach irgendeine Lösung z.B. u(x) = sin(pi*x) wählen.
Diese Lösung entspricht den Randwertbedingungen.
Dann rechnet man die linke Seite der Helmholtzgleichung aus und bekommt automatisch die rechte.
Somit hat man also eine analytische Lösung zu einem bestimmten Problem.
Oder hab ich da irgenwas nicht bedacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die homogene dgl kannst du sicher lösen? mit dem Ansatz [mm] u=e^{/lambda*x}, [/mm] dann kommt es für die inhomogene auf f(x) an.
deine spezielle Lösung in der Mitteilung gilt doch nur für k=2, f(x)=sin(x)
was ist über das Vorzeichen von k bekannt?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Perko |
Ich meinte es folgendermaßen.
Sei u(x) = sin(pi*x) die Lösung der Helmholtzgleichung.
dann kann ich quasi rückwärts das zugehörige Problem ausrechnen:
-u''(x) + k*u(x) = [mm] (pi^2 [/mm] + k) * sin(pi*x)
mit obigen Bedingungen.
Ich kenne mit mit partiellen Differenzialgleichungen gar nicht
Später soll das k groß und positv sein bzw. man nimmt einfach [mm] k^2 [/mm] statt k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] k^2
[/mm]
-u''+k^2u=x hat z. Bsp die allgemeine Lösung [mm] u=C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}+1/k^2*x
[/mm]
mit u(1)=u(0)=0
[mm] C_1+C_2=0 [/mm] => [mm] C_1=-C2 [/mm]
[mm] C_1e^k+C_2e1^{-k}+1/k^2=0=> C_1=\bruch{1}{k^2*(e^k-e^{-k})}
[/mm]
Aber natürlich kannst du auch mit deiner fkt testen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Perko |
Super, vielen Dank für die Antwort.
Eine Frage hätte ich noch dazu wieso setzt du
C1 + C2 = 0
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Perko |
wenn ich für die rechte Seite meines LGS statt x nun eine andere Funktion f(x) wähle, gibt es dafür auch eine allgemein gültige Lösung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 06.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Perko |
mit der allgemeinen Lösung
u(x) = C1 * e^(kx) + C2 * e^(-kx) + [mm] x/k^2
[/mm]
und C1 = -C2
gilt nicht u(1) = 0
man bekommt
u(1) = C1 * [mm] (e^k [/mm] - e^(-k)) + [mm] x/k^2 [/mm]
das gibt doch nicht 0?
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