Herausheben einer Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Do 19.05.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] kgV(ln_1,\ldots,ln_k)= |l|kgV(n_1,\ldots,n_k) [/mm] (mit [mm] $n_i \neq [/mm] 0 [mm] \forall i\in \{1,\ldots,k\}$) [/mm] |
Setze $e:= [mm] kgV(ln_1,\ldots,ln_k) [/mm] $
$d:= [mm] kgV(n_1,\ldots, n_k) [/mm] $
Es ist sofort zu schließen, dass gilt:
[mm] $ln_1|e, ln_2|e, \ldots, ln_k|e [/mm] $
[mm] $n_1|d, n_2|d, \ldots, n_k|d [/mm] $
Zu zeigen bleibt: $e = [mm] |l|\cdot [/mm] d$ (*)
Dazu müsste ich doch zuerst einmal nachweisen, dass [mm] $d\le [/mm] e$ gilt. Da komme ich aber leider nicht weiter. Ich sehe nicht, wie meine Voraussetzungen zu dem führen sollen.
Wäre außerdem dann schon gezeigt, dass (*) gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Do 19.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
wenn du dich bei einer Frage vertippst, brauchst du die Frage nicht nochmal zu stellen (in korrigierter Form), sondern kannst einfach die Frage mit dem Fehler bearbeiten und den Fehler dort beheben. Ich habe die andere Frage mal versteckt.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Do 19.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige, dass [mm]kgV(ln_1,\ldots,ln_k)= |l|kgV(n_1,\ldots,n_k)[/mm]
> (mit [mm]n_i \neq 0 \forall i\in \{1,\ldots,k\}[/mm])
>
> Setze [mm]e:= kgV(ln_1,\ldots,ln_k)[/mm]
> [mm]d:= kgV(n_1,\ldots, n_k) [/mm]
>
> Es ist sofort zu schließen, dass gilt:
> [mm]ln_1|e, ln_2|e, \ldots, ln_k|e[/mm]
> [mm]n_1|d, n_2|d, \ldots, n_k|d[/mm]
Das folgt direkt aus der Definition.
> Zu zeigen bleibt: [mm]e = |l|\cdot d[/mm] (*)
Zeige einfach: $|l| [mm] \cdot [/mm] d$ ist ein kgV von $l [mm] n_1, \dots, [/mm] l [mm] n_k$.
[/mm]
Dazu zeigst du:
a) $l [mm] n_i \mid [/mm] |l| [mm] \cdot [/mm] d$ fuer alle $i$;
b) gilt $l [mm] n_i \mid [/mm] x$ fuer alle $i$, so gilt $|l| [mm] \cdot [/mm] d [mm] \mid [/mm] x$.
Teil a) ist einfach. Teil b) folgt mit der entsprechenden Eigenschaft von $d$ als kgV von [mm] $n_1, \dots, n_k$.
[/mm]
LG Felix
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