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| Aufgabe | Aufgabe: Leiten Sie die Standardabweichung dieser Zufallsgröße her:
https://www.youtube.com/watch?v=W3WY_XZ66yM |
Ich habe hier eine Zusatz-Aufgabe von meinem Lehrer bekommen und soll die oben genannte Aufgabe machen. Mehr wurde mir nicht gesagt.
Erstens weiß ich nicht wie man eine Formel herleitet. Habe ich noch nie gemacht.
Und zweitens was soll ich herleiten? Ich habe mir das Video angeschaut und möchte gerne verstehen was hier die Sache ist.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Do 24.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Die Varianz ist das Integral über dem Produkt der Dichte und [mm] \left[t- E(t)\right]^2
[/mm]
Jetzt must Du wissen was die Dichte ist, ist im Video erläutert und was der Erwartungswert ist, ist im Video ebenfalls erläutert. Dann muss Du das Integral ausrechnen.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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Ist das hier die Dichte:
[mm] \bruch{ln(2)}{T\bruch{1}{2}} e^{-ln(2)\bruch{t}{T\bruch{1}{2}}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Sa 26.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ist das hier die Dichte:
> [mm]\bruch{ln(2)}{T\bruch{1}{2}} e^{-ln(2)\bruch{t}{T\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
ich würde es so schreiben
[mm] \bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}} e^{-\bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}}*t}
[/mm]
und mit [mm] \lambda=\bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}} [/mm] ergibt sich die Darstellung
[mm] p(t,\lambda)=\lambda*e^{-\lambda*t}
[/mm]
Hiermit und dem Link den ich Dir gegeben habe, kannst Du dann weiterrechnen.
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So jetzt habe ich mehr Zeit und werde mich heute um diese Aufgabe kümmern.
Was ich bis jetzt weiß ist folgendes:
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz
Formel: [mm] \sigma=\wurzel{Varianz}=\wurzel{\bruch{1}{x^2}}=\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
Varianz:
[mm] Var(x)=\int_ 0^\infty \! \left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^{2} \lambda e^{-\lambda x} \, [/mm] dx [mm] =\lambda \int_0^\infty \! x^{2}e^{-\lambda x} \, [/mm] dx -2 [mm] \int_0^\infty \! xe^{-\lambda x} \, [/mm] dx [mm] +\frac{1}{\lambda} \int_0^\infty \! e^{-\lambda x} \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{\lambda^2}
[/mm]
Erwartungswert [mm] \bruch{1}{\lambda}, [/mm] denn
E(X)= [mm] \int_0^\infty \! \lambda [/mm] x [mm] e^{-\lambda x} \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{\lambda}
[/mm]
Erwartungswert in unserem Fall:
[mm] \frac{T_{\frac{1}{2}}}{ln(2)}
[/mm]
Wahrscheinlichkeitsdichte:
[mm] \frac{ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}} e^{-ln(2)\cdot \frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}
[/mm]
Das ist alles was ich bis jetzt weiß.
Ich weiß jetzt nicht wie ich mit all diesen Werten und Formeln die Herleitung der Standardabweichung machen soll.
Gibt es da nicht eine Schritt-für-Schritt-Anleitung damit ich das mal versuche?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 So 27.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast doch schon alles.
[mm] \sigma=\bruch{1}{\lambda} [/mm] und der Erwartungswert ist [mm] E=\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
und für [mm] \lambda [/mm] gilt [mm] \lambda=\bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Jetzt alles einsetzten. Dann bist Du fertig.
Wie man sieht haben der Erwartungswert und die Streuung den gleichen Wert.
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Ist das jetzt die Herleitung?
[mm] \sigma=\bruch{1}{\bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 27.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja genau. Ich würde es nur so schreiben.
[mm] \sigma=\bruch{T_{\bruch{1}{2}}}{ln(2)}
[/mm]
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Ist das jetzt wirklich die Herleitung der Standardabweichung?
Kann ich das meinem Lehrer so zeigen?
Kannst Du mir einen Tipp geben, wie man das aufschreibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 27.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
[mm] p(t,\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} , & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{für } t<0 \end{cases}
[/mm]
mit [mm] \lambda=\bruch{ln(2)}{T_{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Die Varianz berechnet sich wie folgt
[mm] Var=\integral_{0}^{\infty }{\left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^{2} \lambda e^{-\lambda x} dx}
[/mm]
Dann musst Du die Rechenschritte die zu [mm] Var=\bruch{1}{\lambda^2} [/mm] führen, alle begründen.
Dann folgt [mm] Streuung=\wurzel{Var}=\sigma=\bruch{1}{\lambda} [/mm] und dann [mm] \lambda [/mm] einsetzten und Du kommst auf verlangte Ergebnis.
Das sollte reichen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 27.01.2013 | | Autor: | matthias87 |
Ok vielen Dank. Habe alles aufgeschrieben.
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