Herleitung Kettenregel im R^3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 31.01.2006 | | Autor: | Maetti |
| Aufgabe | Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für differenzierbare Funktionen
f: [mm] R^3 [/mm] -> R sowie g: [mm] R^2 [/mm] -> R und h: [mm] R^2 [/mm] -> R mit
f(x,y,z) = h(g(x,y),z)
folgende Kettenregel gilt:
[mm] f_x [/mm] , [mm] h_x [/mm] , [mm] g_x [/mm] : f,g bzw. h partiell nach x
[mm] f_x(x,y,z) [/mm] = [mm] h_x(g(x,y),z) [/mm] * [mm] g_x(x,y)
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich bin von der formalen Definition der partiellen Ableitung ausgegangen:
[mm]\limes_{h \to 0}\bruch{ (h(g(x+h,y),z) - h(g(x,y),z))}{h} *\bruch{g(x+h,y) - g(x,y)}{g(x+h,y) - g(x,y)}[/mm]
[mm]\limes_{h \to 0}\bruch{ (h(g(x+h,y),z) - h(g(x,y),z))}{g(x+h,y) - g(x,y)} *\bruch{g(x+h,y) - g(x,y)}{h}[/mm]
Meine Frage: Ist meine Annahme richtig und ist hiermit nachgewiesen, daß
[mm] f_x(x,y,z) [/mm] = [mm] h_x(g(x,y),z) [/mm] * [mm] g_x(x,y) [/mm] ist !?
Mätti
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Hallo Mätti,
sorry, aber mir wird deine argumentation nicht klar, kannst du das nochmal erklären, was du meinst?
und außerdem: es gibt einen sehr schönen formeleditor in diesem forum.... 
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Maetti |
Die Aufgabenstellung ist von meinem Prof. Mir ging es nur darum, ob ich mit meinem Beweisansatz richtig liege oder nicht.
Was den Formeleditor angeht, bin ich bei dem Versuch gescheitert "h->0" darzustellen. Nachedm ich folgendes Symbol aufgerufen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
habe, wollte ich anstelle von infty eine Null haben. Ich habe mehrere Möglichkeiten ausprobiert um eine Null zu erzeugen ( 0,null,nought,zero,love...), leider vergeblich. Daher habe ich mich auf eine etwas unkonventionelle Weise versucht auszudrücken.
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Hallo Meatti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habe deinen Artikel mal bearbeitet so wie ich die Formeln verstanden haben. Ich hoffe das geht O.K. Wenn Du wissen willst wie kannst Du auf "Quelltext" klicken.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mätti
> Zeigen Sie, dass für differenzierbare Funktionen
>
> f: [mm]R^3[/mm] -> R sowie g: [mm]R^2[/mm] -> R und h: [mm]R^2[/mm] -> R mit
>
> f(x,y,z) = h(g(x,y),z)
>
> folgende Kettenregel gilt:
>
> [mm]f_x[/mm] , [mm]h_x[/mm] , [mm]g_x[/mm] : f,g bzw. h partiell nach x
>
> [mm]f_x(x,y,z)[/mm] = [mm]h_x(g(x,y),z)[/mm] * [mm]g_x(x,y)[/mm]
>
> Ich bin von der formalen Definition der partiellen
> Ableitung ausgegangen:
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{ (h(g(x+h,y),z) - h(g(x,y),z))}{h} *\bruch{g(x+h,y) - g(x,y)}{g(x+h,y) - g(x,y)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{ (h(g(x+h,y),z) - h(g(x,y),z))}{g(x+h,y) - g(x,y)} *\bruch{g(x+h,y) - g(x,y)}{h}[/mm]
>
> Meine Frage: Ist meine Annahme richtig und ist hiermit
> nachgewiesen, daß
Leider nein, das ist der "Beweis" wie er in manchen Schulbüchern steht und leider so falsch ist. Er veranschaulicht die Regel, aber sein Pferdefuss ist:
[mm] $\bruch{g(x+h,y) - g(x,y)}{g(x+h,y) - g(x,y)}$ [/mm] der Nenner kann, auch für g differenzierbar, beliebig viele Nullstellen haben, [mm] Bsp:g=x^{2}*sin(x)
[/mm]
damit ist dein ausdruck illegal, und du musst dir größte Mühe geben das auszubügeln! (ich schließ nicht aus, dass es geht)
Man muss mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] arbeiten, oder anderen Def. von Differenzierbarkeit, sieh etwa
![[]](/images/popup.gif) hier
was du auf eure Schreibweise umschreibe kannst. Oder sieh in deinem Lehrbuch Ana1 nach, natürlich ist der Beweis wie im 1d.
> [mm]f_x(x,y,z)[/mm] = [mm]h_x(g(x,y),z)[/mm] * [mm]g_x(x,y)[/mm] ist Gruss leduart
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