Herleitung Partialsumme < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mi 15.03.2006 | | Autor: | kani18 |
| Aufgabe | Partialsumme
$ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] na_1 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] $ d
ob diese mit der gleich ist:
$ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n}{2} (a_1 [/mm] $ + $ [mm] a_n) [/mm] $ |
Hallo, wie Ihr oben schon lesen könnt brauch ich eine herleitung für diese beiden Partialsummen für arithmetische Zahlenfolgen.
Wenn mir jemand die Herleitung an einer beispiel aufgabe zeigen könnte wär ich sehr zufrieden.
Danke euch
kani18
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Do 16.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Partialsumme
> [mm]s_n[/mm] = [mm]na_1[/mm] + [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] d
> ob diese mit der gleich ist:
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2} (a_1[/mm] + [mm]a_n)[/mm]
Die beiden sind bestimmt nicht gleich. Es stimmt aber, dass:
[mm] s_{n}=na_{1}+\bruch{n(n-1)}{2}*d=\bruch{n}{2}(a_{1}+a_{n}).
[/mm]
Wie sich die zweite Formel herleitet dürfte eigentlich klar sein. Es gilt ja [mm] a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}. [/mm] Z.b. wenn [mm] a_{1}=1 [/mm] und d=1 (also die arithmetische Zahlenfolge der ganzen Zahlen ab 1), dann ist [mm] a_{1}+a_{100}=a_{2}+a_{99}=...=101.
[/mm]
So, um [mm] s_{n} [/mm] auszurechnen soll man ja einfach alle Glieder aufaddieren. Nun es gibt ja genau n/2 solche Paare (wie [mm] a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1} [/mm] usw.), für die die Summe gleich ist [mm] \Rightarrow s_{n}=\bruch{n}{2}(a_{1}+a_{n}).
[/mm]
Die erste Formel kann man ganz einfach aus der zweiten herlieten, wenn man weiß, dass für ein beliebiges k [mm] a_{k}=a_{1}+(k-1)*d [/mm] gilt. (*)
Das leuchtet schnell ein, da um zum k-ten Glied zu gelangen muss man zum ersten den Abstand zwischen den Gliedern (also d) k-1 Mal addieren. Z.b ist in der Beispielsfolge [mm] a_{73}=a_{1}+72*1=73.
[/mm]
Wenn man auch noch [mm] s_{n}=na_{1}+\bruch{n(n-1)}{2}*d [/mm] als
[mm] s_{n}=\bruch{a_{1}+(a_{1}+(n-1)d)}{2}*n [/mm] schreibt sieht man, dass der zweite Summand im Zähler gerade [mm] a_{n} [/mm] ist (wegen *), was eben die zweite Formel liefert.
Gruß,
dormant
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