Herleitung Spiegelungsmatrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 21.06.2009 | | Autor: | jonasXYZ |
| Aufgabe | | Leite die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an einer Geraden, bzw. Drehung um 180° um eine Gerade im R³ her. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum, ich habe für meine Frage auch schon hier im Forum nach Lösungen gesucht und festgestellt, dass hier eigentlich relativ schnell Hilfe angeboten wird. Darum hoffe ich mal das das bei mir nicht anders sein wird.
Ich muss morgen als Referat die Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden im R³ herleiten, die ja ähnlich aufgebaut ist wie die Spiegelung an einer Ebene. Für die Spiegelung an einer Ebene habe ich schon eine Herleitung von einem früheren Referat und wollte mich nun an dem langhangeln um das auch für eine Gerade zu meistern, jedoch hänge ich nun an folgendem Problem.
Wie komme ich nun auf die Lotgerade von meinem Punkt P auf die Spiegelungsgerade g? Bei der Ebene ist dies ja relativ einfach doch bei der Gerade bin ich im Moment vollkommen aus dem Konzept gekommen. Habe auch schon im Internet etwas von einer Hilfsebene gefunden, aber irgendwie kam ich da jetzt auch nicht wirklich weiter.
Vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen oder noch besser, vielleicht kennt einer eine Seite mit einer Herleitung der Spiegelungsmatrix im R³. Ich habe bisher nur eine für R² gefunden.
MfG,
verzweifelter Jonas
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Hallo!
Mit einer Hilfsebene ginge das so:
Kennst du die Normalenform einer Ebene?
[mm] (\vec{x}-\vec{a})*\vec{n}=0
[/mm]
Hierbei ist [mm] \vec{a} [/mm] ein Aufpunkt, also ein bekannter Vektor innerhalb der Ebene, und [mm] \vec{n} [/mm] steht senkrecht auf der Ebene. Die Gleichung ist dann für alle [mm] \vec{x} [/mm] erfüllt, die in der Ebene liegen.
Nimmst du nun den Richtungsvektor deiner Graden als [mm] \vec{n} [/mm] und den zu spiegelnden Punkt als [mm] \vec{a}, [/mm] hast du eine Ebene senkrecht zur Spiegelachse und mit dem zu spiegelnden Punkt drin. Damit kannst du dir dann einen Verbindungsvektor zwischen dem Punkt und deiner Graden stricken, und folglich auch den gespiegelten Punkt. Das kann aber sehr langatmig werden.
Eine andere Lösung verwendet nur das Skalarprodukt. Ich hab das hier schonmal komplett durchgekaut.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 21.06.2009 | | Autor: | jonasXYZ |
Also bei der Spiegelung an der Ebene war es ja so das man den Schnittpunkt S von der Ebene und der Lotgeraden durch die folgende Gleichung berechnen konnte:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} \* [/mm] [ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + r * [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] ]
Wenn man das nach Lambda, hier r, aufgelöst hat erhielt man:
r = [mm] -\bruch{a*x+b*y+c*z}{a²+b²+c²}
[/mm]
Damit wurde dann weitergerechnet, also eingesetzt in die Geradengleichung der Lotgeraden, usw.
Wenn ich nun logisch überlege und mir anschaue was am Ende rauskommen soll, muss ich für das Lambda der Spiegelungsmatrix an einer Geraden folgendes bekommen:
r = [mm] \bruch{a*x+b*y+c*z}{a²+b²+c²}
[/mm]
Damit würden sich alle Vorzeichen in der Klammer der endgültigen Abbildungsmatrix umkehren und ich wäre fertig. Nun komme ich aber leider immernoch nicht auf die Geradengleichung der Lotgerade worin ich mein r einsetzen könnte.
Endgültige Spiegelungsmatrix an Ebene war:
T = [mm] \bruch{1}{a²+b²+c²} \* \pmat{ -a²+b²+c² & -2ab & -2ac \\ -2ab & a²-b²+c² & -2bc \\ -2ac & -2bc & a²+b²-c² }
[/mm]
Endgültige Spiegelungsmatrix an Gerade wäre:
S = [mm] \bruch{1}{a²+b²+c²} \* \pmat{ a²-b²-c² & 2ab & 2ac \\ 2ab & -a²+b²-c² & 2bc \\ 2ac & 2bc & -a²-b²+c² }
[/mm]
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Hallo!
Deine Spiegelmatrix für die Grade ist falsch. Ich hab die Matrix für die Ebene nun nicht nachgeprüft, aber die für die Grade kehrt ja nur alle Vorzeichen um. Das kommt der Spiegelung an einer Ebene und der anschließenden Punktspiegelung am Ursprung gleich.
Hast du dir mal den Link oben angeschaut? Da wurde das mit dem Skalarprodukt gemacht, das ist um einiges eleganter, einfacher und weniger fehlerträchtig als ne Methode mit ner Hilfsebene.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 21.06.2009 | | Autor: | jonasXYZ |
So ich habe nun von einem Freund ![[]](/images/popup.gif) diese Seite als Link bekommen. Der 3. Punkt dort beschreibt genau wie ich auf mein gesuchtes Lambda komme um damit weiter rechnen zu können. Meine Vermutung hat sich bestätigt das das Vorzeichen vom Lambda einfach umgekehrt wird und sich somit alle Vorzeichen in der Klammer der endgültigen Abbildungsmatrix umkehren. Lambda berechnet sich wie folgt für das Lot von einem Punkt auf eine Gerade:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{dotP(p,a)-dotP(r0,a)}{dotP(a,a)}
[/mm]
dotp() berechnet das Skalarprodukt
p ist der zu spiegelnde Punkt (x;y;z)
a ist der Richtungsvektor der Spiegelungsgeraden
r0 ist der Aufpunkt der Spiegelungsgeraden in meinem Fall (0;0;0) da durch den Ursprung verlaufend
Ich habe die komplette Herleitung schnell Verfasst an dem anderen Beispiel der Spiegelung an einer Ebene, halt nur immer die Vorzeichen angepasst und als PDF in den Anhang gepackt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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