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Forum "Schul-Analysis" - Herleitung Steigungsformel
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Herleitung Steigungsformel: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,
Ich habe Folgendes Problem:
Es geht um die manuelle herleitung auf die Steigungsformel.

Wir sollten die Steigung der Funktion y = x³ herausfinden.

Es geht dabei um das Steigungsdreieck und die Punkte

P und Pn und die Coordinaten (x|y) und (xn|yn)


Also Ansatz ist ja m =  [mm] \bruch{ \Delta y}{ \Delta x} [/mm]

so weiter geht es wenn man für [mm] \Delta [/mm]  y dieses hier einsetzt yn - y

Also haben wir
m = [mm] \bruch{yn - y}{ \Delta x} [/mm]

Denken wir jetzt an die Funktion y= x³ können wir folgendes einsetzen

m = [mm] \bruch{yn - x³}{ \Delta x} [/mm]

Aber nun mein Problem. was ist mit yn ... in meinem Heft finde ich was man für yn einsetzen kann allerdings finde ich nicht wie man darauf kommt:

yn = (x +  [mm] \Delta [/mm] x)³

Kann mir jemand sagen wie man darauf kommt? und wie man dann von da aus weitermachen muss um auf

mt = 3x²+3x [mm] \Delta [/mm] x +  [mm] \Delta [/mm] x²

zu kommen?

Danke... Alex

        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: 1. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Do 16.06.2005
Autor: Herby

Hi Airwave,

erstmal eine Antwort zum Weitermachen:

> Es geht dabei um das Steigungsdreieck und die Punkte
>  
> P und Pn und die Coordinaten (x|y) und (xn|yn)
>  
>
> Also Ansatz ist ja m =  [mm]\bruch{ \Delta y}{ \Delta x}[/mm]
>  
> so weiter geht es wenn man für [mm]\Delta[/mm]  y dieses hier
> einsetzt yn - y
>  
> Also haben wir
>  m = [mm]\bruch{yn - y}{ \Delta x}[/mm]

[ok]

> Denken wir jetzt an die Funktion y= x³ können wir folgendes
> einsetzen
>  
> m = [mm]\bruch{yn - x³}{ \Delta x}[/mm]
>  
> Aber nun mein Problem. was ist mit yn ... in meinem Heft
> finde ich was man für yn einsetzen kann allerdings finde
> ich nicht wie man darauf kommt:
>  
> yn = (x +  [mm]\Delta[/mm] x)³

Ganz einfach: Du hast ja den Punkt P und den Punkt Pn.
Pn liegt ja um [mm] \Delta [/mm] x verschoben neben P, woraus folgt, dass natürlich
auch yn um den Funktionswert von [mm] \Delta [/mm] x verschoben wird, sprich um:
(x +  [mm]\Delta[/mm] x)³


>  
> Kann mir jemand sagen wie man darauf kommt? und wie man
> dann von da aus weitermachen muss um auf
>  
> mt = 3x²+3x [mm]\Delta[/mm] x +  [mm]\Delta[/mm] x²

Die Formel hier schau ich mir noch mal genauer an..... Wo hast du die her?

>  
> zu kommen?

Setze in deine obrige Formel nicht (a-b)³ ein, sondern dass Produkt aus (a-b)(a-b)², dann kannst du nach ein paar Umformungen den ersten Faktor wegkürzen und erhälst das Gewünschte.


Probier' mal

Liebe Grüße
Herby

------------------------------------------------------
ich meld' mich gleich nochmal :-)

Bezug
                
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Hi,
Danke für die Antwort .
Die Formel hatte ich aus einem Heft allerdings fehlte der Lösungsweg bis dahin.

Ich habe es jetzt mal durchgerechnet und bin zum richtigen ergebnis gekommen.

Danke

Bezug
                        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: gut....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Do 16.06.2005
Autor: Herby

.... ich auch, siehe unten!


Herby

Bezug
        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: 2. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Do 16.06.2005
Autor: Herby

Hier die Herleitung

> Kann mir jemand sagen wie man darauf kommt? und wie man
> dann von da aus weitermachen muss um auf
>  
> mt = 3x²+3x [mm]\Delta[/mm] x +  [mm]\Delta[/mm] x²
>  
> zu kommen?


Es gilt:

[mm] \bruch{(x+\Delta x)³-x³}{(x+\Delta x)-x)} [/mm]

[mm] =\bruch{(x+\Delta x)³-x³}{\Delta x} [/mm]

[mm] =\bruch{x³+3x²\Delta x+3x\Delta x²+\Delta x³-x³}{\Delta x} [/mm]

[mm] =\bruch{3x²\Delta x+3x\Delta x²+\Delta x³}{\Delta x} [/mm]

[mm] \Delta [/mm] x ausklammern ergibt:

[mm] =\bruch{\Delta x * (3x²+3x\Delta x+\Delta x²)}{\Delta x} [/mm]

Kürzen

= [mm] 3x²+3x\Delta x+\Delta x^{2} [/mm]


Fertig! Mach das mal mit [mm] x^{4} [/mm] - geht genauso flux!


lg
Herby

Bezug
                
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Hi,

Und was mache ich wenn die Funktion mal y = x² + 7 lautet.
Oder y = 5x² , oder y = x³ + x² ?

Ist es dann überhaupt möglich sowas komplett durchzurechnen? bzw in einer begrenzten Zeit zu rechnen?



Bezug
                        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Analog ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 16.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Airwave,

zunächst einmal [willkommenmr] !!


> Und was mache ich wenn die Funktion mal y = x² + 7 lautet.
> Oder y = 5x² , oder y = x³ + x² ?

Das funktioniert jeweils analog! Einfach jeweils [mm] $y_n$ [/mm] ersetzen durch $x + [mm] \Delta [/mm] x$ und dann die entsprechenden Potenzen ausmultiplizieren, zusammenfassen und kürzen ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Hi,
Und  wie würde es dann bei den 3 von mir als beispiel herausgesuchten funktionen ausehen?
Es reicht mir ein Ansatz.

Aus y = x² wird ja

m =  [mm] \bruch{(x + \Delta x)2 - x² }{ \Delta x} [/mm]

Kannst du mir bitte die 3 Beispiele von mir auchmal auf diese Form bringen?



Bezug
                                        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Ein Beispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Do 16.06.2005
Autor: Herby

Hallo Airwave,

[anbet] entschuldige bitte, dass ich die Begrüßung vergaß!!!!


Natürlich  [willkommenmr]



ich nehme mal das erste Beispiel:

[mm] f_{(x)}= [/mm] x²+7
[mm] f_{(x+\Delta x)}=(x+\Delta [/mm] x)²+7

[mm] f'_{(x)}=\bruch{f_{(x+\Delta x)}-f_{(x)}}{(x+\Delta x)-x} [/mm]


[mm] =\bruch{(x+\Delta x)²+7-(x²+7)}{(x+\Delta x)-x} [/mm]

du siehst, dass die 7 herausfällt (die hat nämlich kein "x") und der Rest deiner gewünschten Form entspricht.

Schreib' dir zuerst die Funktion auf und darunter die Funktion mit dem [mm] \Delta [/mm] x.

Dann setzt du alles in diese Formel ein und los geht's.

Du bist dran


lg
Herby

Bezug
                                                
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Okay danke,

Hoffen wir mal das es morgen in der mündlichen Prüfung klappt.
Aber ich hab eh 2 Aufgaben zur auswahl und werde Intergral rechnung nehmen.
Nur falls es da nicht klappt ist es schon besser wenn ich das hier auch kann :P werde ja immerhin auf 1 geprüft.

Danke

            Alex

Bezug
                                                        
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Viel Glück....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Do 16.06.2005
Autor: Herby

.... morgen,

aber das hindert dich ja sicher nicht die ein oder andere Lösung noch zu posten. Muss nicht heute sein!


lg
Herby

Bezug
                                                                
Bezug
Herleitung Steigungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 Do 16.06.2005
Autor: Airwave

Okay also wenn ja die 7 rausfällt haben wir ja gaaanz am ende "2x"

Hmm und nagut dann nehme ich mal die anderen 2 beispiele im ansatz:

Also aus  y = 5x²

würde dann ja bestimmt

m =  [mm] \bruch{5 * (x + \Delta x)² - 5x²}{\Delta x} [/mm]

ps. wenn ich oben den Bruch ausmultiplieziere komme ich doch auf

5x² + 10 x [mm] \Delta [/mm] x + 5 [mm] \Delta [/mm] x² - 5x²

oder??

naja und bei

y = x³ + x²

.....(x + [mm] \Delta [/mm] x)³ + (x + [mm] \Delta [/mm] x)² - x³ - x²

naja das scheint doch zu gehen...
Ich melde mich morgen nochmal wies gelaufen ist... :P
schonmal vielen dank an das super board




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